\(=16x^2y^2+12\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+34xy\)

\(=16x^2y^2+12\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]+22xy\)

\(=16x^2y^2-2xy+12\)

Đặt \(t=xy\) thì \(B=16t^2-2t+12=16\left(t-\frac{1}{16}\right)^2+\frac{191}{16}\ge\frac{191}{16}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=1\\xy=\frac{1}{16}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\\y=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\\y=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\end{cases}}\)

Vậy min B \(=\frac{191}{16}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(\frac{2+\sqrt{3}}{4};\frac{2-\sqrt{3}}{4}\right);\left(\frac{2-\sqrt{3}}{4};\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)\)

Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy , ta có : \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\)

Suy ra : \(B\le16\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{16}\right)^2+\frac{191}{16}=\frac{25}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1/2

Vậy max B = 25/2 khi (x;y) = (1/2;1/2)

\(S=16x^2y^2+12\left(x^3+y^3\right)+9xy+25xy\)

\(=16x^2y^2+12\left(x+y\right)\left[\left(x+y\right)^2-3xy\right]+34xy\)

\(=16x^2y^2+12-36xy+34xy\)

\(=16x^2y^2-2xy+12\)

\(S=16x^2y^2-2xy+12=16x^2y^2-2xy+\frac{1}{16}+\frac{191}{16}=\left(4xy-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{191}{16}\ge\frac{191}{16}\)

\(\Rightarrow MinS=\frac{191}{16}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\4xy-\frac{1}{4}=0\\x,y\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(\frac{2\pm\sqrt{3}}{4};\frac{2\mp\sqrt{3}}{4}\right)\)

\(S=16x^2y^2-2xy+12=2xy\left(8xy-1\right)+12\le2.\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\left[8.\frac{\left(x+y\right)^2}{4}-1\right]+12=\frac{25}{2}\)

\(\Rightarrow MinS=\frac{25}{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\x=y\\x,y\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

\(B=\left(4x^2+3y\right)\left(4y^2+3x\right)+25xy\)

\(\Leftrightarrow B=16x^2y^2+12\left(x^3+y^3\right)+9xy+25xy=16x^2y^2+12\left[\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\right]+34xy=16t^2-2t+12\) Với t = xy

\(B=\left(4t-\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{191}{16}\)

Vì: \(0< t=xy\le\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\Rightarrow\dfrac{-1}{4}< 4t-\dfrac{1}{4}\le\dfrac{3}{4}\)

Vậy \(\dfrac{191}{16}\le B\le\dfrac{25}{2}\)

ctv hỏi bài

Thái đức anh Ơ CTV là không được hỏi bài à ??? Bài này tôi làm ra lâu rồi,đăng lên chơi vui thôi nhé ! Không làm thì đừng có mà spam lung tung câu hỏi của tôi

Vài bước nhân tung ..v.v là ra ấy mà:v

\(Q=16x^2y^2+12\left(x^3+y^3\right)+9xy+25xy\)

\(=\frac{\left(8xy+1\right)\left(4xy-1\right)}{2}+\frac{25}{2}+12\left(x+y-1\right)\left(x^2-xy+y^2+x+y+1\right)\le\frac{25}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\).

Max là 25/2 khi ...

tôi cũng nghĩ là dùng Phương pháp dồn biến tìm MAX , MIN

\(P=\left(4x^2+3y\right)\left(4y^2+3x\right)+25xy\)

\(=16x^2y^2+12\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+34xy\)

\(=16x^2y^2+12\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]+22xy\)

\(=16x^2y^2-2xy+12\)

Đặt  \(t=xy\Rightarrow B=16t^2-2t+12=16\left(t-\frac{1}{16}\right)^2+\frac{191}{16}\ge\frac{191}{16}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\xy=\frac{1}{16}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\\y=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\end{cases}}\) hoặc  \(\hept{\begin{cases}x=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\\y=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\end{cases}}\)

Vậy  \(B_{min}=\frac{191}{16}\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(\frac{2+\sqrt{3}}{4};\frac{2-\sqrt{3}}{4}\right);\left(\frac{2-\sqrt{3}}{4};\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)\)

Đổi B thành P nha lỗi xíu

tách mẫu thành 3x+3y +x+z 
mấy mauax còn lại tương tự
sau đó dúng ssww

http://diendantoanhoc.net/topic/156111-t%C3%ADnh-gi%C3%A1-tr%E1%BB%8B-l%E1%BB%9Bn-nh%E1%BA%A5t-c%E1%BB%A7a-m-frac14x3yz-frac1x4y3z-frac13xy4z/

tính giá trị lớn nhất của M = $\frac{1}{4x+3y+z} + \frac{1}{x+4y+3z} + \frac{1}{3x+y+4z}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

Xét \(5P-\left(12x+10y+15z\right)=5x^2-32x+5y^2-30y+5z^2-20z.\)

                                                              \(=5x\left(x-6,4\right)+5y\left(y-6\right)+5z\left(z-4\right).\)(1)

Mà \(x,y,z\ge0\)nên từ \(12x+10y+15z\le60\)suy ra \(\hept{\begin{cases}12x\le60\\10y\le60\\15z\le60\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le5\\y\le6\\z\le4\end{cases}\Rightarrow}}\hept{\begin{cases}x-6,4< 0\\y-6\le0\\z-4\le0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\left(x-6,4\right)\le0\\y\left(y-6\right)\le0\\z\left(z-4\right)\le0\end{cases}.}}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(5P-\left(12x+10y+15z\right)\le0\)

\(\Rightarrow P\le\frac{12x+10y+15z}{5}\le\frac{60}{5}=12.\)

Vậy GTLN của P=12, Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x\left(x-6,4\right)=y\left(y-6\right)=z\left(z-4\right)=0\\12x+10y+15z=60\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=0;z=4\\x=z=0;y=6\end{cases}.}}\)

Xét hàm \(h\left(t\right)=f\left(t\right)-m.g\left(t\right)\)

Với \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(t\right)=\sqrt{3t^2+1}\\g\left(t\right)=t\\m=\dfrac{f'\left(\dfrac{1}{3}\right)}{g'\left(\dfrac{1}{3}\right)}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy xét hàm: \(h\left(t\right)=\sqrt{3t^2+1}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}t\)

\(\Rightarrow h'\left(t\right)=\dfrac{3t}{\sqrt{3t^2+1}}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(\Rightarrow h'\left(t\right)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{3}\)

Bảng biến thiên

Theo bảng biến thiên:

\(h\left(t\right)\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(\Rightarrow\sqrt{3t^2+1}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}t\)

\(\sqrt{3x^2+1}+\sqrt{3y^2+1}+\sqrt{3z^2+1}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\left(x+y+z=1\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

Trên mình tìm nhầm thành min gòi, mà bài này tìm max nên làm như này nhé 

Vì \(x,y,z\in\left[0,1\right]\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2\le x\\y^2\le y\\z^2\le z\end{matrix}\right.\)

\(\sqrt{3x^2+1}\le\sqrt{x^2+2x+1}=x+1\)

Tương tự:

\(\sqrt{3x^2+1}+\sqrt{3y^2+1}+\sqrt{3z^2+1}\le x+y+z+3=4\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(x,y,z\right)=\left(0,0,1\right)\) và các hoán vị của nó