Căn bậc 2 của 1 là 1,của 2018 bình phương là 2018,2018 bình phương/2019 bình phương là 2018/2019 nên cái căn đó có giá trị là 1+2018+2018/2019 nha.bn lấy 2018/2019+2018/2019 nếu là số tự nhiên thì biểu thức này là STN

\(\sqrt{1+2018^2+\frac{2018^2}{2019^2}}+\frac{2018}{2019}\)

\(=\)\(\sqrt{\left(1+2.2018+2018^2\right)-2.2018+\frac{2018^2}{2019^2}}+\frac{2018}{2019}\)

\(=\)\(\sqrt{2019^2-2.2018+\frac{2018^2}{2019^2}}+\frac{2018}{2019}\)

\(=\)\(\sqrt{\left(2019-\frac{2018}{2019}\right)^2}+\frac{2018}{2019}\)

\(=\)\(\left|2019-\frac{2018}{2019}\right|+\frac{2018}{2019}=2019-\frac{2018}{2019}+\frac{2018}{2019}=2019\)

\(\Rightarrow\)\(\sqrt{1+2018^2+\frac{2018^2}{2019^2}}+\frac{2018}{2019}\) là số tự nhiên ( đpcm ) 

... 

:v nãy giải xong thì bị lỗi please signing gì đó...(giải rất kĩ càng,lần này ko giải kĩ nx  -_-)

Đặt a = 2018 -> 2019 = a + 1..

Gọi biểu thức trên là A.Quy đồng biểu thức trong căn và rút gọn,ta được:

\(A=\sqrt{\frac{a^4+2a^3+3a^2+2a+1}{\left(a+1\right)^2}}+\frac{a}{a+1}\)

Đặt \(B=a^4+2a^3+3a^2+2a+1\)

\(=a^2\left(a^2+2a+3+\frac{2}{a}+\frac{1}{a^2}\right)\)

\(=a^2\left[\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+2\left(a+\frac{1}{a}\right)+1\right]\)

\(=\left[a\left(a+\frac{1}{a}+1\right)\right]^2\) (Làm tắt xíu nhé)

Suy ra \(A=\frac{\left(a+\frac{1}{a}+1\right)a}{\left(a+1\right)}+\frac{a}{a+1}=\frac{a^2+2a+1}{a+1}=\frac{\left(a+1\right)^2}{a+1}=a+1=2019\)

Là số tự nhiên.(đpcm)

\(B=\sqrt{\frac{2019^2}{2019^2}+2018^2+\frac{2018^2}{2019^2}}+\frac{2018}{2019}\)

\(B=\sqrt{\frac{\left(2018+1\right)^2}{2019^2}+\frac{2018^2}{2019^2}+2018^2}+\frac{2018}{2019}\)

\(B=\sqrt{\frac{1}{2019^2}+\frac{2018^2+2.2018+2018^2}{2019^2}+2018^2}+\frac{2018}{2019}\)

\(B=\sqrt{\frac{1}{2019^2}+2.2018.\frac{1}{2019}+2018^2}+\frac{2018}{2019}\)

\(B=\sqrt{\left(\frac{1}{2019}+2018\right)^2}+\frac{2018}{2019}\)

\(B=\frac{1}{2019}+2018+\frac{2018}{2019}=2019\) là một số tự nhiên

\(B=\sqrt{1+2018^2+\frac{2018^2}{2019^2}}+\frac{2018}{2019}\)

\(B=\sqrt{1^2+2018^2+\left(-\frac{2018}{2019}\right)^2}+\frac{2018}{2019}\)

\(B=\sqrt{\left(1+2018-\frac{2018}{2019}\right)^2+2.\frac{2018}{2019}+2.\frac{2018^2}{2019}-2.2018}\)\(+\frac{2018}{2019}\)

\(B=\sqrt{\left(1+2018-\frac{2018}{2019}\right)^2+2\left(\frac{2018+2018.2018-2018.2019}{2019}\right)}\)\(+\frac{2018}{2019}\)

\(B=\sqrt{\left(1+2018-\frac{2018}{2019}\right)^2}+\frac{2018}{2019}\)

\(B=1+2018-\frac{2018}{2019}+\frac{2018}{2019}=2019\)

Vậy B có giá trị là 1 số tự nhiên.

Akai Haruma Nguyễn Thanh Hằng Nguyễn Thị Ngọc Thơ

1 < S < 2

=> S ko phải là số tự nhiên

1< S< 2

=> S không phải số tự nhiên

1 < S < 2

\(\Rightarrow\) S ko fai là số tự nhiên

bn có thể tham khảo ở sách vũ hữu binh nha

\(B=\sqrt{1+2017^2+\frac{2017^2}{2018^2}}+\frac{2017}{2018}\)

Đặt B = 2017 => B + 1 = 2018

Khi B bằng: 

\(B=\sqrt{1+B^2+\frac{B}{\left(B+1\right)^2}}+\frac{B}{B+1}\)

\(B=\sqrt{\frac{\left(B+1\right)^2+B^2\left(B+1\right)^2+B^2}{\left(B+1\right)^2}}+\frac{B}{B+1}\)

\(B=\sqrt{\frac{B^2\left(B+1\right)^2+2B\left(B+1\right)^2+B^2}{\left(B+1\right)^2}}+\frac{B}{B+1}\)

\(B=\sqrt{\frac{\left[B\left(B+1\right)+1\right]^2}{\left(B+1\right)^2}}+\frac{B}{B+1}\)

\(B=\frac{B^2+B+1}{B+1}+\frac{B}{B+1}\left(\text{vi}:a>0\right)\)

\(B=\frac{B^2+2B+1}{B+1}\)

\(B=\frac{\left(B+1\right)^2}{B+1}\)

\(B=B+1\left(\text{vi}:a>0\Rightarrow B+1>0\right)\)

\(B=2017+1\left(\text{vi}:B=2017\right)\)

\(\Rightarrow B=2018\)

đặt \(2008=a\)

\(\sqrt{1+a^2+\frac{a^2}{\left(a+1\right)^2}}=\sqrt{\left(a+1\right)^2-\frac{2\left(a+1\right).a}{a+1}+\left(\frac{a}{a+1}\right)^2}=\)\(\sqrt{\left(a+1-\frac{a}{a+1}\right)^2}=a+1-\frac{a}{a+1}\)=2008+1- \(\frac{2008}{2009}\)

=> A= 2008+1 = 2009

Ta có : \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2018^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2017.2018}\)

Xét B = \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2017.2018}\)

= \(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}\)

=\(1-\frac{1}{2018}\)

Xét : \(\frac{2018}{2018}=1\)=) B < 1

khoan hình như sai đề

Bài 1: 

Ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)

\(a+c\ge2\sqrt{ac}\)

Do đó: \(2\left(a+b+c\right)\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\)

hay \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{cb}+\sqrt{ac}\)

ta xét : \(\sqrt{a^2+b^2+\frac{a^2}{\left(\frac{a}{b}+1\right)^2}}=\sqrt{\left(a+b\right)^2-2ab+\frac{a^2b^2}{\left(a+b\right)^2}}=\sqrt{\left(a+b\right)^2-2.\left(a+b\right).\frac{ab}{a+b}+\frac{a^2b^2}{\left(a+b\right)^2}}=\sqrt{\left(a+b-\frac{ab}{a+b}\right)^2}=\left|a+b-\frac{ab}{a+b}\right|\)

áp dụng vào bài toán :

\(A=\left|1+2018-\frac{2018}{2019}\right|+\frac{2018}{2019}=2019\)