Hàm xác định trên R khi và chỉ khi:

\(8cosx-6sinx-\left(3sinx-4cosx\right)^2-2m\ge0;\forall x\) (1)

Đặt \(3sinx-4cosx=t\)

\(\Rightarrow t^2=\left(3sinx-4cosx\right)^2\le\left(3^2+\left(-4\right)^2\right)\left(sin^2x+cos^2x\right)=25\)

\(\Rightarrow-5\le t\le5\)

(1) tương đương:

\(-2t-t^2-2m\ge0;\forall t\in\left[-5;5\right]\)

\(\Leftrightarrow2m\le-t^2-2t;\forall t\in\left[-5;5\right]\)

\(\Leftrightarrow2m\le\min\limits_{t\in\left[-5;5\right]}\left(-t^2-2t\right)\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=-t^2-2t\) trên \(\left[-5;5\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=-1\) ; \(f\left(-5\right)=-15\) ; \(f\left(-1\right)=1\) ; \(f\left(5\right)=-35\)

\(\Rightarrow2m\le-35\Rightarrow m\le-\dfrac{35}{2}\)

Đặt \(t=3sinx-4cosx=5\left(\frac{3}{5}sinx-\frac{4}{5}cosx\right)=5sin\left(x-a\right)\)

\(\Rightarrow-5\le t\le5\)

\(\Rightarrow y=t^2-t+m\)

\(y>0\) ; \(\forall m\Leftrightarrow t^2-t+m>0\Leftrightarrow m>-t^2+t\) ; \(\forall m\)

\(\Leftrightarrow m>\max\limits_{\left[-5;5\right]}\left(-t^2+t\right)\)

Mà \(-t^2+t=-\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\le\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow m>\frac{1}{4}\)

\(4cosx-3sinx=5\left(\frac{4}{5}cosx-\frac{3}{5}sinx\right)=5cos\left(x+a\right)\) với \(cosa=\frac{4}{5}\)

\(\Rightarrow-5\le4cosx-3sinx\le5\)

\(\Rightarrow\) Pt vô nghiệm khi: \(\left[{}\begin{matrix}\left(m^3-4m+3\right)x+m-4>5\\\left(m^3-4m+3\right)+m-4< -5\end{matrix}\right.\) \(\forall x\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m^3-4m+3=0\\m-4>5\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m^3-4m+3=0\\m-4< -5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\)

Đáp án B

Đặt t = 3sin x - 4 cos x => -5 ≤ t ≤ 5

Ta có: y = t² – 2t + 2m – 1 = (t – 1)² + 2m - 2

Với mọi t ta có (t – 1)² ≥ 0 nên y ≥ 2m - 2 => min y = 2m - 2

Hàm số chỉ nhận giá trị dương ⇔ y > 0 ∀x ∈ R ⇔ min y > 0

⇔ 2m - 2 > 0 ⇔ m > 1

Đặt \(\frac{3}{5}=cosa;\frac{4}{5}=sina\)

\(f\left(x\right)=5.sin\left(x+a\right)-\left(m^3-4m+3\right)x-m+5\)

Dễ dàng nhận thấy \(f\left(x\right)\) là hàm liên tục

- Nếu \(m^3-4m+3\ne0\)

Khi \(m>0\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=-\infty\); \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=+\infty\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 lần đổi dấu trên R \(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) có nghiệm

Tương tự, khi \(m< 0\Rightarrow f\left(+\infty\right)=-\infty\) ; \(f\left(-\infty\right)=+\infty\) nên \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm

\(\Rightarrow\) Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}m^2-4m+3=0\\m>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\end{matrix}\right.\)