Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn đk \(x^2+y^2+z^2=1\). Tìm GTNN của biểu thức
\(P=\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{z^2+x^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=3\).TIm GTNN của biểu thức \(A=\frac{x^2+1}{x}+\frac{y^2+1}{y}+\frac{z^2+1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\)
Do \(x;y;z>0\) và \(x^2+y^2+z^2=3\)
Nên \(0< x;y;z< \sqrt{3}\)
Ta có: \(\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9x}+\frac{1}{9y}+\frac{1}{9z}\)
\(\Rightarrow A\ge x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}+z+\frac{1}{z}-\frac{1}{9x}-\frac{1}{9y}-\frac{1}{9z}\)
\(\Leftrightarrow A\ge x+\frac{8}{9x}+y+\frac{8}{9y}+z+\frac{8}{9z}\)
Ta chứng minh: \(x+\frac{8}{9x}\ge\frac{x^2+33}{18}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(16-x\right)\ge\)
Do đó \(A\ge\frac{x^2+y^2+z^2+99}{18}=\frac{102}{18}=\frac{17}{3}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1
Dòng thứ 3 từ dưới lên là \(\left(x-1\right)^2\left(16-x\right)\ge0\)
Đúng do \(0< x< \sqrt{3}< 16\)
Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=2. tìm GTNN của biểu thức : P = \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=1.\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(x=y=z=\frac{2}{3}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\frac{x^2}{y+z}\)và \(\frac{y+z}{4}\), ta được :
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=2.\frac{x}{2}=x\) ( 1 )
Tương tự : \(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y\) ( 2 )
\(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\) ( 3 )
Cộng ( 1 ) , ( 2 ) và ( 3 ) , ta được :
\(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\right)+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)
\(P\ge\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z}{2}=1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)x = y = z = \(\frac{2}{3}\)
Vậy GTNN của P là 1 \(\Leftrightarrow\)x = y = z = \(\frac{2}{3}\)
\(\frac{x^2}{y+z}+x+\frac{y^2}{x+z}+y+\frac{z^2}{x+y}+z=\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{x+z}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{x+y}\)
\(\Rightarrow P+\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)\)hay \(P+2=2\cdot\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\).Mặt khác \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{yz+yx}+\frac{z^2}{zx+zy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{3\left(xy+yz+zx\right)}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{2}\)
Do đó \(P+2\ge2\cdot\frac{3}{2}=3\Rightarrow P\ge1\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{xy+xz}=\frac{y}{yx+yz}=\frac{z}{zx+zy}\\x=y=z\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{y+z}=\frac{1}{x+z}=\frac{1}{x+y}\\x=y=z\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z=\frac{2}{3}}\)
cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x,y,z>0 thỏa mãn x(x-z)+y(y-z) =0 tìm GTNN của \(P=\frac{x^3}{x^2+z^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+4}{x+y}\)
\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)
\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)
\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)
\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)
Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=3 .Tìm GTNN của biểu thức =\(\frac{1}{x^2+x}\)+\(\frac{1}{y^2+y}\)+\(\frac{1}{z^2+z}\)
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111+11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111-2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222=?
8
555566655
5665656746565656+5965=?
Ta có: \(P=\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{1}{z\left(z+1\right)}\)
\(=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y}-\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z}-\frac{1}{z+1}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)\(-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
Áp dụng bđt có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) và \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) ( với a,b,c dương)
Dấu '=' xảy ra <=> a=b=c
Lại có: \(\frac{1}{x+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+1\right);\frac{1}{y+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{y}+1\right);\frac{1}{z+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{z}+1\right)\)
\(\Rightarrow P=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\ge\)\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+1+\frac{1}{y}+1+\frac{1}{z}+1\right)\)
\(=\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\frac{9}{x+y+z}-\frac{3}{4}=\frac{9}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Vậy GTNN của P= 3/2 <=> x=y=z=1
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=3\).Tìm GTNN của M=\(\frac{x^2+1}{x}+\frac{y^2+1}{y}+\frac{z^2+1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\)
Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn : x+y+z = 1. Tìm GTNN của biểu thức:\(A=\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn x+y+z=2
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
Áp dụng bđt AM-GM ta được:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=x\)
\(\frac{y^2}{z+x}+\frac{z+x}{4}\ge2\sqrt{\frac{y^2}{z+x}.\frac{z+x}{4}}=y\)
\(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge2\sqrt{\frac{z^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}=z\)
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được
\(A+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{x+y+z}{2}=1\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)
Cách 2:Dù dài hơn Lê Tài Bảo Châu
\(\frac{x^2}{y+z}+x=\frac{x^2+x\left(y+z\right)}{y+z}=\left(x+y+z\right)\cdot\frac{x}{y+z}\)
\(\frac{y^2}{z+x}+y=\left(x+y+z\right)\cdot\frac{y}{z+x};\frac{z^2}{x+y}+z=\left(x+y+z\right)\cdot\frac{z}{x+y}\)
Suy ra \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}+\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\)
Đến đây thay x+y+z=2 và BĐT netbitt là ra ( chứng minh netbitt nha )
Cách 3:
\(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
Áp dụng Cauchy Schwarz
\(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=1\)
Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=2/3
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=2. Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(T=\frac{x^3}{y^2+z}+\frac{y^3}{z^2+x}+\frac{z^3}{x^2+y}\)
Ta có \(\left(\frac{x^3}{y^2+z}+\frac{y^3}{z^2+x}+\frac{z^3}{x^2+y}\right)\left[x\left(y^2+x\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\left(1\right)\)
Ta chứng minh \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\frac{4}{5}\left[x\left(y^2+z\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow5\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge4\left[x\left(y^2+z\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\left(2\right)\)
Thật vậy \(\hept{\begin{matrix}3\left(\Sigma x^2\right)^2\ge\left(\Sigma x^2\right)\cdot\Sigma x^2=4\Sigma zx\left(3\right)\\2\left(\Sigma x^2\right)^2\ge4\Sigma xy^2\left(4\right)\end{matrix}\Leftrightarrow2\left(\Sigma x^2\right)^2\ge\Sigma xy^2\left(x+y+z\right)}\)(*)
Từ các Bất Đẳng Thức \(\hept{\begin{cases}\frac{x^4-2x^3z+z^2x^2}{2}\ge0\\\frac{x^4+y^4+2x^4}{4}\ge xyz^2\end{cases}}\)=> (*) đúng
Như vậy (3),(4) đúng => (2) đúng
Từ đó suy ra \(T\ge\frac{4}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
Cho x;y;z là 3 số thực dương thỏa mãn \(x+y+z=9\). Tính GTNN cảu biểu thức
\(S=\frac{y^3}{x^2+xy+y^2}+\frac{z^3}{y^2+yz+z^2}+\frac{z^3}{z^2+zx+x^2}\)