a: Xét tứ giác AEHF có

góc AEH=góc AFH=góc FAE=90 độ

=>AEHF là hình chữ nhật

b: ΔHAB vuông tại H có HE là đường cao

nên AE*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên AF*AC=AH^2

=>AE*AB=AF*AC

=>AE/AC=AF/AB

Xét ΔAEF và ΔACB có

AE/AC=AF/AB

góc A chung

=>ΔAEF đồng dạng với ΔACB

c: góc AFE+góc MAC

=góc C+góc AHE

=góc C+góc ABC=90 độ

=>AM vuông góc EF

a, Vì HE ⊥ AB ; FA ⊥ AB => HE // FA (từ ⊥ đến // )

+, EA ⊥ AC ; HF ⊥ AC => EA // HF (từ ⊥ đến // )

Xét tứ giác AEHF có: HE // FA (cmt) ; EA // HF (cmt)

=> Tứ giác AEHF là hình bình hành (dhnb)

 mà \(\hat{EAF} =90^0\)

=> Tứ giác AEHF là hình chữ nhật

=> AH = EF

b, Vì AEHF là hình chữ nhật (cmt)

=> EH//AF;  EH = AF mà AF= FK (gt)

=> EH = FK

+, Xét tứ giác EHKF có: EH = FK (cmt)

                                 EH // FK (do EH // AF; K ∈ AF)

=> Tứ giác EHKF là hình bình hành (dhnb)

1.Xét ΔHBA và ΔABC có:

góc AHB=góc BAC=90^o

Góc B chung 

=> ΔABC đồng dạng ΔHBA (g.g)

=>\(\dfrac{BA}{BH}=\dfrac{BC}{BA}\)\(\Rightarrow BA.BA=BH.BC\)

2. Xét ΔHBI và ΔABE có:

góc ABE=IBH (Vì BE là tia phân giác của góc B, I nằm trên BE)

góc BAE=góc IHB=90^o

=>ΔHBI đồng dạng ΔABE (g.g)

a, Vì góc BM là tia phân giác góc BAC nên=> góc BAM= góc MAC

Vì tam giác ABC cân tại A=>AB=AC(t/c)

Xét tam giác AMB và tam giác AMC, ta có:

            AB=AC(cmt)

             AM(cạnh chung)

            góc BAM=góc MAC(cmt)

=>Tam giác AMB=tam giác AMC(c.g.c)

a: Xét ΔAMB và ΔAMC có

AM chung

\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)

AB=AC

Do đó: ΔAMB=ΔAMC

b: Xét ΔAEM vuông tại E và ΔAFM vuông tại F có

AM chung

\(\widehat{EAM}=\widehat{FAM}\)

Do đó: ΔAEM=ΔAFM

Suy ra: AE=AF

hay ΔAEF cân tại A

c: Ta có: ΔAEF cân tại A

mà AM là đường phân giác

nên AM là đường cao

c) \(\widehat{AEF}=\widehat{EAH}=90^0-\widehat{ABH}=\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\)△AFE∼△ABC (g-g)

\(\Rightarrow\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\Rightarrow AB.AE=AC.AF\).

d) \(\widehat{CAM}=90^0-\widehat{AFE}=90^0-\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\)△ACM cân tại M \(\Rightarrow MA=MC\left(1\right)\)

\(\widehat{BAM}=90^0-\widehat{AEF}=90^0-\widehat{ACB}=\widehat{ABC}\)

\(\Rightarrow\)△ABM cân tại M \(\Rightarrow MA=MB\left(2\right)\)

-Từ (1) và (2) suy ra: \(MB=MC\) nên M là trung điểm BC.

e) \(\dfrac{S_{AFE}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{EF}{BC}\right)^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{\dfrac{1}{2}S_{AEHF}}{2S_{AEHF}}=\left(\dfrac{EF}{BC}\right)^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{4}=\left(\dfrac{EF}{BC}\right)^2\Rightarrow\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{AH}{BC}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow H\equiv M\)

\(\Rightarrow\)△ABC vuông cân tại A.

Gọi G là trung điểm AH, I là trung điểm EF, MN là đtb tg ABC

Dễ thấy NG//BC;MG//BC nên M,N,G thẳng hàng

Xét tg AEF và tg HEF có AI;HI là trung tuyến ứng vs ch EF nên \(AI=HI=\dfrac{1}{2}EF\)

Do đó tg AIH cân tại I

Mà IG là trung tuyến (G là trung điểm AH) nên IG là đg cao hay \(IG\perp AH\left(1\right)\)

Xét tg AHB vuông tại H có HM là trung tuyến ứng ch AB nên \(AM=HM=\dfrac{1}{2}AB\)

Do đó tg AHM cân tại M

Mà MG là trung tuyến (G là trung điểm AH) nên MG là đg cao hay \(MG\perp AH\left(1\right)\)

Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow MG//GI\)

Từ đó ta được M;G;I thẳng hàng

Do đó I;M;N thẳng hàng

Vậy trung điểm EF là I nằm trên đt cố định là đường trung bình MN của tg ABC