Cho 2 điểm B,C cố định,A di động sao cho tam giác ABC nhọn.Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.gọi AH giao với EF tại K.Chứng minh AD. HK=AK.HD
giúp mik với.Mik chịu rồi.Ai đúng mik tik cho.hepl me pls!!!!
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Gọi I,J,M lần lượt là trung điểm của AH,EF,BC. P,Q lần lượt là các giao điểm của EF với các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O). MF cắt AD tại L. ME cắt đường thẳng qua F và song song với BC tại K
a, Chứng minh MP//CF, MQ//BE.
b, Chứng minh IJ luôn đi qua điểm cố định khi (O) và BC cố định, A di động trên cung BC.
c, Tính góc giữa 2 đường thẳng IK và EL
a) Vì tứ giác BFEC nội tiếp nên \(\widehat{PFB}=\widehat{ACB}=\widehat{PBF}\) suy ra \(PF=PB\)
Suy ra \(MP\perp AB\) vì MP là trung trực của BF. Do đó \(MP||CF\). Tương tự \(MQ||BE\)
b) Dễ thấy M,I,J đều nằm trên trung trực của EF cho nên chúng thẳng hàng. Vậy IJ luôn đi qua M cố định.
c) Gọi FK cắt AD tại T ta có \(FK\perp AD\) tại T. Theo hệ thức lượng \(IE^2=IF^2=IT.IL\)
Suy ra \(\Delta TIE~\Delta EIL\). Lại dễ có \(EI\perp EM\), suy ra ITKE nội tiếp
Do vậy \(\widehat{ILE}=\widehat{IET}=\widehat{IKT}=90^0-\widehat{LIK}\). Vậy \(IK\perp EL.\)
Cho 2 điểm B,C cố định và điểm A di động sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, đường cao AD,BE,CF giao nhau tại H, AH giao EF tại K
a) CM: Tam giác EHC đồng dạng với Tam giác FHB
b) Góc EFC= góc EBC
c) Góc BFD=góc ACB
d) CM: AD.HK=AK.HD
e) TÌm điều kiện để AD.HD đạt giá trị lớn nhất
a) Xét ΔEHC vuông tại E và ΔFHB vuông tại F có
\(\widehat{EHC}=\widehat{FHB}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔEHC\(\sim\)ΔFHB(g-g)
b) Xét tứ giác BFEC có
\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}\left(=90^0\right)\)
nên BFEC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
Suy ra: \(\widehat{EFC}=\widehat{EBC}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC)
c) Xét ΔADB vuông tại D và ΔCFB vuông tại F có
\(\widehat{FBD}\) chung
Do đó: ΔADB\(\sim\)ΔCFB(g-g)
Suy ra: \(\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{BD}{BF}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(\dfrac{BA}{BD}=\dfrac{BC}{BF}\)
Xét ΔBAC và ΔBDF có
\(\dfrac{BA}{BD}=\dfrac{BC}{BF}\)(cmt)
\(\widehat{ABC}\) chung
Do đó: ΔBAC\(\sim\)ΔBDF(C-g-c)
Suy ra: \(\widehat{ACB}=\widehat{BFD}\)(hai góc tương ứng)
Cho hai điểm B, C cố định và điểm A di động sao cho ΔABC luôn có 3 góc nhọn. Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.Gọi K là giao điểm của AH và EF.
Tìm GTLN của tích AD.HD
Cho tam giác ABC nhọn , có 3 đường cao AD ,BE,CF cắt nhau tại H
a) cho BC cố định , A di động . tìm GTLN của HD.AD
b)gọi K là giao điểm của EF và AH . cm HK.AD=AK.DH
Cho tam giác nhọn abc có các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.Gọi K là giao điểm của AH với EF, N là trung điểm của AH . Đường thẳng qua A song song với BN cắt BC tại M.Gọi P là giao điểm MK và AB
a)CM: tam giác AEF đồng dạng tam giác ABC
b)CM: EB là phân giác góc DEF
c)CM: HK/HD = NH/ND
d)CM: PD,MH,KB đồng quy
Cho tam giác ABC có góc B , góc C cố định , góc A di chuyển sao cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của AH và EF
a) CM: \(\Delta\)ABE đồng dạng với \(\Delta\)AFC, \(\Delta\)AEF đồng dạng với \(\Delta\)ABC
b) CM: AD . HK = AK . HD
c) Tìm giá trị lớn nhất của AD . HD
Cho tam giác ABC có các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.Gọi K là giao điểm AH và EF,N là trung điểm AH.Đường thẳng qua A song song với BN cắt BC tại M.Gọi P là giao điểm MK với AB
Chứng minh:
\(\frac{HK}{HD}=\frac{NH}{ND}\)
\(PD,MH,KB\) đồng quy
a)
Ta có: \(\widehat{NKE}=\widehat{KHE}+\widehat{E_1}\)(góc ngoài \(\Delta\)KHE)
\(\Delta\)AHE vuông tại E có: N là trung điểm AH => \(NE=NH=\frac{1}{2}AH\)
Tam giác NEH cân tại N => \(\widehat{NEH}=\widehat{NHE}=\widehat{KHE}\)
Mà \(\widehat{NKB}=\widehat{KHE}+\widehat{E_1}\)
\(\widehat{NED}=\widehat{NEH}+\widehat{E_2}\)
\(\Rightarrow\widehat{NEK}=\widehat{NED}\)
\(\Rightarrow\Delta\)NEK đồng dạng \(\Delta NED\)
=> \(\frac{NE}{ND}=\frac{KE}{ED}\)
Do E là phân giác \(\widehat{DEF}\)=> \(\frac{HK}{HD}=\frac{NH}{ND}\)(đpcm)
b) Định lý Ceva PD,MH,KB đồng quy khi \(\frac{MB}{BD}\cdot\frac{DH}{HK}\cdot\frac{KP}{PM}=1\)
By: Đỗ Quang Thiều (refundzed)
Câu b) chi tiết hơn và sử dụng kiến thức lớp 9
Từ cái tỉ số ở câu đầu
Ta CM đc: \(MK//BH\)
\(\Leftrightarrow\widehat{FPK}=\widehat{MPB}=\widehat{ABE}=\widehat{ACF}=\widehat{FDH}\)
Nên PFKD là tứ giác nội tiếp
Suy ra: \(\widehat{PDK}=\widehat{AFE}=\widehat{AHE}=\widehat{BHD}=\widehat{PKD}\)
Cho nên tam giác PKD cân tại P
=> PK=PD
Từ đây hiển nhiên PM=PK hay \(\frac{PK}{PM}=1\)
Xét tích: \(\frac{MB}{BD}\cdot\frac{DH}{HK}\cdot\frac{KP}{PM}=\frac{HK}{DH}\cdot\frac{DH}{HK}\cdot\frac{KP}{PM}=1\)
Theo Ceva đảo thì đồng quy
Quỳnh Xuka mình ra câu a rùi bạn,câu b mình chờ cách khác :V
Tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Qua B,C kẻ đường thẳng vuông góc với AB, AC chúng cắt nhau ở M.
1. BHCM là hình gì
2. Chứng minh AE.AC= AF.AB
3.AH cắt EF tại K. Chứng minh HK.AD=AK.HD
Cho (O;R) và dây cung BC cố định (BC<2R).Điểm A di động trên đường tròn sao cho tam giác ABC nhọn,Gọi AD là đường cao của tam giác ABC và H là trực tâm tam giác ABC
a)Đường thẳng chứa tia phân giác góc ngoài góc BHC cắt AB,AC lần lượt tại M,N.Chưng minh tam giác AMN cân
b)Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của D trên BH,CH.Chứng minh OA vuông goác với EF
c)Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác góc trong của goác BAC tại K.Chứng minh rằng đường thẳng HK luôn đi qua 1 điểm cố định
a) Ta thấy \(\widehat{AMN}=\widehat{ABH}+\frac{1}{2}\widehat{BHQ}=\widehat{ACH}+\frac{1}{2}\widehat{CHP}=\widehat{ANM}\). Suy ra \(\Delta AMN\) cân tại A.
b) Dễ thấy tứ giác BEFC và BQPC nội tiếp, suy ra \(\widehat{HEF}=\widehat{HCB}=\widehat{HPQ}\), suy ra EF || PQ
Hiển nhiên \(OA\perp PQ\). Do đó \(OA\perp EF.\)
c) Gọi MK cắt BH tại I, NK cắt CH tại J, HK cắt BC tại S.
Vì A,K là trung điểm hai cung MN của (AMN) nên AK là đường kính của (AMN)
Suy ra \(MK\perp AB,NK\perp AC\)hay MK || CH, NK || BH
Ta có \(\Delta BHQ~\Delta CHP\), theo định lí đường phân giác và Thales thì:
\(\frac{IH}{IB}=\frac{MQ}{MB}=\frac{NP}{NC}=\frac{JH}{JC}\). Suy ra IJ || BC
Cũng từ MK || CH, NK || BH suy ra HIKJ là hình bình hành hay HK chia đôi IJ
Do vậy HK chia đôi BC theo bổ đề hình thang. Vậy HK đi qua S cố định.