chứng minh rằng nếu tích 3 số dương bằng 1 còn tổng số đó lớn hơn tổng các số nghịch đảo của chúng thì trong 3 số đó có một số lớn hơn 1
chứng minh rằng nếu tích 3 số dương bằng 1 còn tổng số đó lớn hơn tổng các số nghịch đảo của chúng thì trong 3 số đó có một số lớn hơn 1
chứng minh rằng nếu tích của ba số dương là 1 và tổng của chúng lớn hơn tổng các nghịch đảo của chúng thì phải có ít nhất một số lớn hơn 1.
CMR : nếu tích 3 số bằng 1 và tổng của 3 số đó lớn hơn tổng các nghịch đảo của ba số đó thì có đúng duy nhất 1 số lớn hơn 1
Chứng minh rằng nếu tích của ba số dương bằng 1, còn tổng của ba số đó lớn hơn tổng các nghịch đảo của chúng thì trong ba số đó có đúng 1 số lớn hơn 1
Chứng minh rằng :
a) Tổng của một số phân số dương với số nghịch đảo của nó thì lớn hơn hoặc bằng 2
b) Áp dụng để chứng tỏ rằng nếu x , y là các số nguyên cùng dương hoặc cùng âm thì \(p=\frac{3x}{y}+\frac{3y}{x}\ge6\)
\(a.\)Ta có:\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)
\(AM-GM:\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\left(đpcm\right)\)
\(b.\)Nếu x,y dương thì Áp dụng BĐT Cô-si ta có:\(\frac{3x}{y}+\frac{3y}{x}\ge2\sqrt{\frac{3x}{y}.\frac{3y}{x}}=6\)hay\(\frac{3x}{y}+\frac{3y}{x}\ge6\left(đpcm\right)\)
Nếu x,y âm ta có:\(\frac{3x}{y}+\frac{3y}{x}=\frac{3x^2}{xy}+\frac{3y^2}{xy}\ge2\sqrt{\frac{3x^2}{xy}.\frac{3y^2}{xy}}=6\left(đpcm\right)\)
Chứng minh rằng tổng của 1 phân số dương với số nghịch đảo của nó thì lớn hơn hoặc bằng 2
Xét phân số dương \(\dfrac{a}{b}\). Không mất tính tổng quát, giả sử \(a>0,b>0,a\ge b\).
Khi đó \(a=b+m\left(m\ge0\right)\). Ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{b+m}{b}+\dfrac{b}{b+m}=1+\dfrac{m}{b}+\dfrac{b}{b+m}\ge1+\dfrac{b}{b+m}+\dfrac{m}{b+m}=1+\dfrac{m+b}{b+m}=1+1=2\)
Vậy \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\). Dấu "=" xảy ra khi a = b (m = 0)
Gọi một phân số dương bất kì là \(\dfrac{a}{b}\)(a; b > 0) thì phân số nghịch đảo của nó là \(\dfrac{b}{a}\). Ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{a^2}{ab}+\dfrac{b^2}{ab}=\dfrac{a^2+b^2}{ab}\)
+ Nếu a > b thì a2 + b2 > 2b2 > 2ab. \(\Rightarrow\) \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}>2\)
+ Nếu a < b thì a2 + b2 > 2a2 > 2ab. \(\Rightarrow\) \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}>2\)
+ Nếu a = b thì a2 + b2 = 2a2 = 2ab. \(\Rightarrow\) \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}=2\)
Vậy tổng 1 phân số dương với số nghịch đảo của nó \(\ge\) 2
+ Nếu a = b thì a2
1)chứng minh rằng tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó thì không nhỏ hơn 2
2)viết số nghịch đảo của -2 dưới dạng tổng các nghịch đảo của ba số nguyên khác nhau
3)cho hai phân số 8/15 và 18/35.Tìm số lớn nhất sao cho khi chia mỗi phân số này cho số đó ta được kết quả là số nguyên
4)tìm hai số biết rằng 9/11 của số này bằng 6/7 của số kia và tổng của hai số đó bằng 258
5)tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho khi chia a cho 6/7 và chia a cho 10/11 ta đều được kết quả là số tự nhiên
6)tìm hai số biết rằng 7/9 của số này bằng 28/33 của số kia và hiệu của hai số đó bằng 9
a)Chứng minh rằng tổng của một phân số dương với nghịch đảo của nó không nhỏ hơn 2.
b) Tìm các phân số có tử và mẫu đều dương sao cho tổng của phân số đó với nghịch đảo của nó có giá trị nhỏ nhất.
a. Gọi phân số cần tìm là \(\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow\) Phân số nghịch đảo là \(\frac{b}{a}\)
Theo bài ra, ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2-ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)+b\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Vì (a-b)2 chắc chắn lớn hơn hoặc bằng 0
\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Vậy tổng của một phân số dương với ghịch đảo của nó luôn lớn hơn hoặc bằng 2.
Các cậu giúp tớ vs. Câu hỏi như sau: Cmr tổng 2 số dương nhân với tổng hai số nghịch đảo của chúng thì lớn hơn hoặc bằng 4
-Đây là bài của lớp 8, không thể là của lớp 5:
-Gọi hai số dương đó là \(x,y\).
-Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+y^2}{xy}\ge2\).
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=1+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+1\ge1+2+1=4\)
-Dấu bằng xảy ra ⇔\(x=y\)