Theo bài có : \(\sqrt{ab}=\frac{a+b}{a-b}\)        (1)             nên suy ra : \(\frac{a+b}{a-b}\ge0\)

Mà a+b > 0 do a,b là số thực dương nên suy ra : a-b > 0 hay a > b

Có : \(\sqrt{ab}=\frac{a+b}{a-b}\) 

\(\Leftrightarrow\)ab = \(\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}\)=\(\frac{\left(a-b\right)^2+4ab}{\left(a-b\right)^2}\)= \(1+\frac{4ab}{\left(a-b\right)^2}\)

Ta có : P = ab + \(\frac{a-b}{\sqrt{ab}}\)=  \(1+\frac{4ab}{\left(a-b\right)^2}\) + \(\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}\)+ \(\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}\) \(\ge\)4\(\sqrt[4]{1.\frac{4ab}{\left(a-b\right)^2}.\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}.\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}}\)= 4\(\sqrt[4]{1}\)= 4 ( theo BĐT Cô -si)

Dấu  " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}=1\\\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}=\frac{4ab}{\left(a-b\right)^2}\\\frac{4ab}{\left(a-b\right)^2}=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow a=b.\left(\sqrt{2}+1\right)^2\)

Thay  a = b.\(\left(\sqrt{2}+1\right)^2\)vào (1)  rồi tính ra ta được :\(\hept{\begin{cases}a=2+\sqrt{2}\\b=2-\sqrt{2}\end{cases}}\left(thỏamãn\right)\)

Vậy P _min = 4 đạt được khi \(\hept{\begin{cases}a=2+\sqrt{2}\\b=2-\sqrt{2}\end{cases}}\) 

AD bất đẳng thức cô si ta được:\(a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow ab\le\frac{a^2+b^2}{2}=2\)                                                 AD bất đẳng thức bunhiacopxki ta được:\(\left(a+b\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(1^2+1^2\right)=4.2=8\Rightarrow\left(a+b\right)\le2\sqrt{2}\)                                       \(\Rightarrow\frac{ab}{a+b+2}\le\frac{2}{2\sqrt{2}+1}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}\)                                                                                                    dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=1

bài khó thế

1,\(T=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=20\left(a^2-ab+b^2\right)=\)

\(=10\left(a^2-2ab+b^2\right)+10\left(a^2+b^2\right)\)

\(\ge10\left(a-b\right)^2+5.\left(a+b\right)^2\ge0+5.20^2=2000\)

2,a,\(\sqrt{a}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-2}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{a}+b-2\sqrt{b-1}+c-2\sqrt{c-2}=0\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{a}+1+b-1-2\sqrt{b-1}+1+c-2+2\sqrt{c-2}+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-1\right)^2+\left(\sqrt{b-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{c-2}-1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\\c=3\end{cases}}\)

b,sai đề

Xét \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Rightarrow10\ge\sqrt{ab}\Leftrightarrow100\ge ab\)

\(T=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=20\left(a^2-ab+b^2\right)=20\left[a^2+2ab+b^2-3ab\right]=20\left(20\right)^2-6ab\)

\(T\ge20.20^2-6.100=7400\)

b. \(1=\left(a+2b\right)^2\ge4.a.2b=8ab\)

\(\Rightarrow ab\le\frac{1}{8}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=\frac{1}{2}\);\(b=\frac{1}{8}\)

P = ab + \(\frac{a-b}{\sqrt{ab}}\)

Thay a - b = \(\frac{a+b}{\sqrt{ab}}\)vào P

=> P = ab + \(\frac{a+b}{\sqrt{ab}\sqrt{ab}}\)

= ab + \(\frac{a+b}{ab}\)>= 2\(\sqrt{a+b}\)

Làm tiếp cứ đi vòng vòng mà không có lối ra.

đề tuyển sinh VT năm nào gần đây thì phải

Linh hoạt biến đổi xíu sẽ ra thôi mà.

ta có:

\(c+ab=c.1+ab=c\left(a+b+c\right)+ab=ca+cb+c^2+ab=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)

tương tự như vậy thì \(P=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)

áp dụng bđt cô si ta có:

\(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}};\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}};\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}\ge2\sqrt{\frac{ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}\right)=\frac{3}{2}\left(Q.E.D\right)\)

Ta có 

\(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}\)\(=\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)\(=\sqrt{\frac{a}{c+a}}.\sqrt{\frac{b}{c+b}}\)\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}\right)\)

Tương tự, ta có

\(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\)

\(\sqrt{\frac{ca}{b+ca}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+b}+\frac{a}{b+a}\right)}\)

Cộng vế theo vế của 3 bđt ta được đpcm