Đường tròn (C): x 2 + y 2 + 4 x − 4 y − 10 = 0  có tâm I(-2;2) và bán kính R = 3 2 .

Khoảng cách d ( ​ I ;     Δ ) =    − 2 + ​ 2 + m 1 2 + ​ 1 2 =    m 2  

Để đường thẳng tiếp xúc đường tròn  thì:

  d ( ​ I ;     Δ ) =    R ⇔    m 2    = 3 2 ⇔ m =    6 ⇔ m =    ± 6

ĐÁP ÁN A

Đáp án: C

(C): x 2  + y 2  = 9 có I(0;0), R = 3

Để Δ tiếp xúc với đường tròn (C) thì

a) Gọi đường tròn cần tìm là \(\left(C\right):x^2+y^2-2ax-2by+c=0\)

\(A\left(-1;1\right)\in\left(C\right)\Rightarrow1+1+2a-2b+c=0\Rightarrow2a-2b+c=-2\)

\(B\left(3;1\right)\in\left(C\right)\Rightarrow9+1-6a-2b+c=0\Rightarrow-6a-2b+c=-10\)

\(C\left(1;3\right)\in\left(C\right)\Rightarrow1+9-2a-6b+c=0\Rightarrow-2a-6b+c=-10\)

Giải hệ phương trình ta được: \(a=1;b=1;c=-2\)

Vậy đường tròn cần tìm là: \(x^2+y^2-2x-2y-2=0\)

b) Ta có \(\left(C\right):x^2+y^2-4x+6y+3=0\)

\(\Rightarrow a=\dfrac{-4}{-2}=2;b=\dfrac{6}{-2}=-3;c=3\)

\(\Rightarrow I\left(2;-3\right)\) là tâm, bán kính \(R=\sqrt{2^2+\left(-3\right)^2-3}=\sqrt{10}\)

Để \(\left(\Delta\right)\) tiếp xúc đường tròn \(\Leftrightarrow d\left(I;\Delta\right)=R\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|9+m\right|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}\Leftrightarrow\left|9+m\right|=10\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}9+m=10\\9+m=-10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-19\end{matrix}\right.\)

Đáp án D

Đường tròn (C) tâm \(I\left(0;0\right)\) bán kính R=1

Đường tròn \(\left(C_m\right)\) tâm \(I'\left(m+1;-2m\right)\) bán kính \(R'=\sqrt{5m^2+2m+6}\)

Ta có: \(II'=\sqrt{\left(m+1\right)^2+\left(2m\right)^2}=\sqrt{5m^2+2m+1}\)

Hai đường tròn tiếp xúc nhau khi:

\(\left[{}\begin{matrix}II'=R+R'\\II'=\left|R-R'\right|\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{5m^2+2m+1}=\sqrt{5m^2+2m+6}+1\left(vn\right)\\\sqrt{5m^2+2m+1}=\sqrt{5m^2+2m+6}-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{5m^2+2m+1}+1=\sqrt{5m^2+2m+6}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{5m^2+2m+1}=2\) 

\(\Leftrightarrow5m^2+2m-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=\dfrac{3}{5}\end{matrix}\right.\)

Đường tròn đã cho có tâm  I    − 3 2   ;     5 2

Bán kính đường tròn  là:   R ​ =    − 3 2 2 + ​   5 2 2 + ​ 2 = 21 2

Độ dài  I M ​ =     − 2 + ​ 3 2 2 + ​   1 − 5 2 2 =    5 2    < ​​ R

Do đó, điểm  M nằm trong đường tròn. 

Qua M không kẻ được tiếp tuyến nào đến đường tròn.

ĐÁP ÁN A

Đáp án A

- Do M thuộc d  suy ra M( t; -1-t).

 Nếu 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau thì MAIB là hình vuông

(A; B là 2 tiếp điểm).

Do đó:

- Ta có :

- Do đó :  2t²+ 8= 12

Chọn A

Mặt phẳng (P) chứa đường tròn (C) (giao của  2 mặt cầu đã cho) có phương trình là: 6x + 3y + 2z = 0

Mặt phẳng (P) có phương trình là:

Do đó (P) // (ABC). Mặt cầu (S) tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA sẽ giao với mặt phẳng (ABC) theo một đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA.

Trên mặt phẳng (ABC) có 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA đó là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và ba đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C. Do đó có 4 mặt cầu có tâm nằm trên (P) và tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA. Tâm của 4 mặt cầu là hình chiếu của tâm 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA lên mặt phẳng (P).

Đáp án D

Gọi d  là đường thẳng qua M có véc tơ chỉ phương:

- Đường tròn (C₁) tâm I₁ (1;1) và R₁= 1

  Đường tròn (C₂) : tâm I₂( -2;0) và R₂= 3

- Nếu d cắt  (C₁) tại A :

- Nếu d cắt (C₂)  tại B:

- Theo giả thiết: MA= 2 MB nên MA²= 4 MB² (*)

- Ta có :