Tìm trên đường tròn (C): x2 +y2 +2x +2y +2=0 điểm M có khoảng cách đến đường thẳng d: 3x-4y+23=0
1) nhỏ nhất
2) lớn nhất
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x²+y² -2x +4y=0 và đường thẳng delta: x+2y+7=0. Tìm tọa độ điểm M€(C) sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng delta lớn nhất.
Đường tròn (C) tâm \(I\left(1;-2\right)\) bán kính \(R=\sqrt{5}\)
Điểm M thuộc (C) thỏa mãn khoảng cách từ M tới \(\Delta\) lớn nhất khi M là giao điểm của (C) và đường thẳng d qua I và vuông góc \(\Delta\)
Phương trình d có dạng:
\(2\left(x-1\right)-1\left(y+2\right)=0\Leftrightarrow2x-y-4=0\)
Hệ pt tọa độ giao điểm (C) và d:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-2x+4y=0\\y=2x-4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+\left(2x-4\right)^2-2x+4\left(2x-4\right)=0\\y=2x-4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-2x=0\\y=2x-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(0;-4\right)\\M\left(2;0\right)\end{matrix}\right.\)
Với \(M\left(0;-4\right)\Rightarrow d\left(M;\Delta\right)=\dfrac{\left|-2.4+7\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)
Với \(M\left(2;0\right)\Rightarrow d\left(M;\Delta\right)=\dfrac{\left|2+0+7\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\dfrac{9}{\sqrt{5}}\)
Do \(\dfrac{9}{\sqrt{5}}>\dfrac{1}{\sqrt{5}}\) nên \(M\left(2;0\right)\) là điểm cần tìm
Điểm nằm trên đường tròn C : x 2 + y 2 - 2 x + 4 y + 1 = 0 có khoảng cách ngắn nhất đến đường thẳng d:x-y+3=0 có tọa độ M(a;b). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 2 a = - b .
B.a=-b
C. 2 a = b .
D.a=b
Cho đường tròn \(\left(C\right):\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=25\) và \(\Delta:3x+4y+33=0\). Tìm khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất của M ∈ (C) đến △.
(x-1)^2+(y-1)^2=25
=>R=5; I(1;1)
\(d\left(I;\text{Δ}\right)=\dfrac{\left|1\cdot3+1\cdot4+33\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{40}{5}=8>5\)
=>Δ nằm ngoài (C)
Lập đường thẳng đi qua I và vuông góc với 3x+4y+33=0
=>(d'): -4x+3y+c=0
Thay x=1 và y=1 vào (d'), ta được:
c-4+3=0
=>c=1
=>-4x+3y+1=0
-4x+3y+1=0 và (x-1)^2+(y-1)^2=25
=>-4x=-3y-1 và (x-1)^2+(y-1)^2=25
=>x=3/4y+1/4 và (3/4y+1/4-1)^2+(y-1)^2=25
=>9/16(y-1)^2+(y-1)^2=25 và x=3/4y+1/4
=>(y-1)^2=16 và x=3/4y+1/4
=>(y=5 hoặc y=-3) và x=3/4y+1/4
=>(x,y)=(4;5) hoặc (x,y)=(-2;-3)
=>M1(4;5); M2(-2;-3)
Δ: 3x+4y+33=0; (d'): -4x+3y+1=0
=>H(-19/5; -27/5)
\(M_1H=\sqrt{\left(-\dfrac{19}{5}-4\right)^2+\left(-\dfrac{27}{5}-5\right)^2}=13\)
\(M_2H=\sqrt{\left(-\dfrac{19}{5}+2\right)^2+\left(-\dfrac{27}{5}+3\right)^2}=3\)
=>\(d_{min}=3;d_{max}=13\)
Tìm điểm M nằm trên đường thẳng d : 2x+ y- 1= 0 mà khoảng cách đến d’ : 3x+ 4y -10= 0 bằng 2?
A. (3 ;1)
B. (-1 ; 3)
C. - 16 5 ; 37 5 v à 4 5 ; - 3 5
D. 16 5 ; - 37 5 v à - 4 5 ; 3 5
Lấy điểm M( x0; 1-2x0) nằm trên d.
Từ giả thiết ta có:
Chọn C.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(3; -5), đường thẳng d có phương trình 3x + 2y – 6 = 0 và đường tròn (C) có phương trình x 2 + y 2 − 2 x + 4 y – 4 = 0 . Tìm ảnh của M, d, và (C) qua phép đối xứng qua trục Ox
Gọi M′, d′ và (C') theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua trục Ox .
Khi đó M′ = (3;5) . Để tìm ta viết biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục:
Thay (1) vào phương trình của đường thẳng d ta được 3x′ − 2y′ − 6 = 0.
Từ đó suy ra phương trình của d' là 3x − 2y – 6 = 0
Thay (1) vào phương trình của (C) ta được x ' 2 + y ' 2 − 2 x ′ + 4 y ′ − 4 = 0 .
Từ đó suy ra phương trình của (C') là x − 1 2 + y − 2 2 = 9 .
Cũng có thể nhận xét (C) có tâm là I(1; −2), bán kính bằng 3,
từ đó suy ra tâm I' của (C') có tọa độ (1;2) và phương trình của (C') là x − 1 2 + y − 2 2 = 9
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d: x- 2y + 3= 0 và đường tròn (C): x2+ y2- 2x – 4y = 0
A. (3; 3) và (-1; 1)
B. (1;1) và (-3;3)
C. (3; -3)
D. Đáp án khác
Tọa độ giao điểm của đường thẳng và đường tròn là nghiệm của hệ phương trình sau
hoặc
Vậy tọa độ giao điểm là (3;3) và (-1; 1) .
Chọn A.
Cho đường tròn ( C) : x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0, có tâm I và đường thẳng d : √2x + my + 1 - √2 = 0
a) Tìm m để đường thẳng cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B
b) Tìm m để diện tích tam giác IAB là lớn nhất
Đường tròn (C) tâm \(I\left(1;-2\right)\) bán kính \(R=3\)
a. Đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm pb khi:
\(d\left(I;d\right)< R\Leftrightarrow\dfrac{\left|\sqrt{2}-2m+1-\sqrt{2}\right|}{\sqrt{2+m^2}}< 3\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)^2< 9\left(m^2+2\right)\)
\(\Leftrightarrow8m^2+4m+17>0\) (luôn đúng)
Vậy đường thẳng luôn cắt đường tròn tại 2 điểm pb với mọi m
b. \(S_{IAB}=\dfrac{1}{2}IA.IB.sin\widehat{AIB}=\dfrac{1}{2}R^2.sin\widehat{AIB}\le\dfrac{1}{2}R^2\) do \(sin\widehat{AIB}\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(sin\widehat{AIB}=1\Rightarrow\Delta IAB\) vuông cân tại I
\(\Rightarrow d\left(I;d\right)=\dfrac{R}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow\dfrac{\left|2m-1\right|}{\sqrt{m^2+2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow m^2+8m+16=0\Rightarrow m=-4\)
Bài tập :
B1 Viết phương trình đường tròn (C1) có bán kính R1 = 1 , tiếp xúc với trục Ox và có tâm nằm trên đường thẳng denta : 3x - y +7 = 0
B2 Cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 2x - 4y - 4 = 0 và đường thẳng (d) : 3x + 4y +4 = 0 . Chứng minh rằng (d) tiếp xúc với (C)
Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 + 8 x + 6 y + 5 = 0 và đường thẳng ∆: 3x – 4y + m = 0. Giá trị của m để đường thẳng cắt đường tròn theo dây cung dài nhất là
A. m = 0
B. m = 2
C. m = 4
D. m = 6
Đường tròn đã cho có tâm I( - 4; -3).
Để đường thẳng ∆ cắt đường tròn theo dây cung dài nhất thì điểm I nằm trên ∆.
Suy ra: 3. (-4) – 4. (-3) + m = 0
⇔ − 12 + 12 + m = 0 ⇔ m = 0
Đáp án A