Lời giải:

Kẻ đường cao $BH$ của tam giác $ABC$.

\(S_{ABC}=\frac{BH.AC}{2}(1)\)

Theo công thức lượng giác: \(\sin A=\frac{BH}{AB}\Rightarrow BH=\sin A. AB(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow S_{ABC}=\frac{\sin A. AB.AC}{2}=\frac{bc\sin \alpha}{2}\)

Hình vẽ:

Đường thẳng BC vuông góc AH nên nhận (1;-3) là 1 vtpt

Phương trình BC: \(1\left(x-2\right)-3\left(y+7\right)=0\Leftrightarrow x-3y-23=0\)

Do M thuộc CM nên tọa độ có dạng \(M\left(-2m-7;m\right)\)

M là trung điểm AB \(\Rightarrow A\left(-4m-16;2m+7\right)\)

Mà A thuộc AH nên:

\(3\left(-4m-16\right)+\left(2m+7\right)+11=0\Rightarrow m=-3\Rightarrow A\left(-4;1\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(6;-8\right)\Rightarrow\) đường thẳng AB nhận (4;3) là 1 vtpt \(\Rightarrow\) pt AB là...

C là giao điểm BC và CM nên tọa độ thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y+7=0\\x-3y-23=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(5;-6\right)\Rightarrow\overrightarrow{BC}=...\Rightarrow\) phương trình BC

a) Xét tam giác ADC và tam giác BEC , có

góc C chung

góc ADC=góc CBE (=90*)

=> tam giác ADC đông dạng với tam giác BEC (g.g)

b) Xét tam giác ABK và tam giác AEK, có

góc BDK = góc AEK (=90*_

góc BKD=AKE ( đối đỉnh)

=> tam giác BDK ~ tam giác AEK (g.g)

=> BK/KD=KE/AK ( tỉ lệ đồng dạng )

=> BK.KE=AK.KD ( đpcm)

Lời giải:

câu c)

Ta có: \(\frac{HD}{AD}=\frac{HD.BC}{AD.BC}=\frac{2S_{BHC}}{2S_{ABC}}=\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}\)

\(\frac{HE}{BE}=\frac{HE.AC}{BE.AC}=\frac{2S_{AHC}}{2S_{ABC}}=\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}}\)

\(\frac{HF}{CF}=\frac{HF.AB}{CF.AB}=\frac{2S_{AHB}}{2S_{ABC}}=\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\)

Cộng theo vế các đẳng thức vừa thu được:

\(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}=\frac{S_{HBC}+S_{AHC}+S_{AHB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)

Ta có đpcm.