\(\left\{{}\begin{matrix}3x+y=3\\mx+y=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x-mx=0\\3x+y=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(3-m\right)x=0\\3x+y=3\end{matrix}\right.\)

Muốn hệ phương trình vô nghiệm, cần:

\(\left(3-m\right)x\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ne0\\m\ne3\end{matrix}\right.\)

Lời giải:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=3-3x\\ mx+y=3\end{matrix}\right.\Rightarrow mx+3-3x=3\)

$\Leftrightarrow x(m-3)=0(*)$

Để hpt vô nghiệm thì $(*)$ vô nghiệm $x$

Điều này vô lý vì $(*)$ luôn có nghiệm $x=0$

Do đó không tồn tại $m$ để hpt vô nghiệm. 

Lời giải:

HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 9x-3y=-3m\\ 9x-m^2y=-3\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 9x=3y-3m\\ 9x-m^2y=-3\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow 3y-3m-m^2y=-3\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow y(3-m^2)=3m-3\sqrt{3}(*)\)

Để hệ đã cho có vô số nghiệm thì PT $(*)$ phải có vô số nghiệm $y$. Điều này xảy ra khi \(3-m^2=3m-3\sqrt{3}=0\Leftrightarrow m=\sqrt{3}\)

Vậy \(m=\sqrt{3}\)

- Để phương trình trên có vô số nghiệm thì :

\(\frac{3}{9}=\frac{-1}{-m^2}=\frac{-m}{-3\sqrt{3}}\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{3}=\frac{1}{m^2}\\\frac{1}{3}=\frac{m}{3\sqrt{3}}\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}m^2=3\\3m=3\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}m=\pm\sqrt{3}\\m=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

=> \(m=\sqrt{3}\)

Vậy để hệ phương trình trên có vô số nghiệm thì m phải có giá trị là \(\sqrt{3}\)

a Để hpt có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(-2;3\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2+3m=4\\-2n+3=-3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3m=6\\-2n=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2\\n=2\end{matrix}\right.\)

b Để hpt có vô số nghiệm \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{n}=\dfrac{m}{1}=\dfrac{4}{-3}\) \(\left(\dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}\right)\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{n}=-\dfrac{4}{3}\\m=-\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-\dfrac{4}{3}\\n=-\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)

Vậy...

`a)` Thay `m=\sqrt{3}+1` vào hệ ptr có:

`{(\sqrt{3}x-2y=1),(3x+(\sqrt{3}+1)y=1):}`

`<=>{(3x-2\sqrt{3}y=\sqrt{3}),(3x+(\sqrt{3}+1)y=1):}`

`<=>{((3\sqrt{3}+1)y=1-\sqrt{3}),(\sqrt{3}x-2y=1):}`

`<=>{(y=[-5+2\sqrt{3}]/13),(\sqrt{3}x-2[-5+2\sqrt{3}]/13=1):}`

`<=>{(x=[4+\sqrt{3}]/13),(y=[-5+2\sqrt{3}]/13):}`

`b){((m-1)x-2y=1),(3x+my=1):}`

`<=>{(x=[1-my]/3),((m-1)[1-my]/3-2y=1):}`

`<=>{(x=[1-my]/3),(m-m^2y-1+my-6y=3):}`

`<=>{(x=[1-my]/3),((-m^2+m-6)y=4-m):}`

`<=>{(x=[1-my]/3),(y=[4-m]/[-m^2+m-6]):}`

   Mà `-m^2+m-6` luôn `ne 0`

   `=>AA m` thì đều tìm được `1` giá trị `y` từ đó tìm được `x`

 `=>AA m` thì hệ ptr có `1` nghiệm duy nhất

`c){((m-1)x-2y=1),(3x+my=1):}`

`<=>{(x=[1-my]/3),(y=[4-m]/[-m^2+m-6]):}`

`<=>{(x=(1-m[4-m]/[-m^2+m-6]):3),(y=[4-m]/[-m^2+m-6]):}`

`<=>{(x=[-m^2+m-6-4m+m^2]/[-3m^2+3m-18]),(y=[4-m]/[-m^2+m-6]):}`

`<=>{(x=[-3m-6]/[3(-m^2+m-6)]),(y=[4-m]/[-m^2+m-6]):}`

Ta có: `x-y=[-3m-6]/[3(-m^2+m-6)]-[4-m]/[-m^2+m-6]`

                `=[-3m-6-12+3m]/[-3(m^2-m+6)]`

                `=[-18]/[-3(m^2-m+6)]=6/[(m-1/2)^2+23/4]`

Vì `(m-1/2)^2+23/4 >= 23/4`

`<=>6/[(m-1/2)^2+23/4] <= 24/23`

Hay `x-y <= 24/23`

Dấu "`=`" xảy ra `<=>m-1/2=0<=>m=1/2`