(a) \(f\left(x\right)⋮g\left(x\right)\Rightarrow\dfrac{x^2-5x+9}{x-3}\in Z\)

Ta có: \(\dfrac{x^2-5x+9}{x-3}\left(x\ne3\right)=\dfrac{x\left(x-3\right)-2\left(x-3\right)+3}{x-3}=x-2+\dfrac{3}{x-3}\)nguyên khi và chỉ khi: \(\left(x-3\right)\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=1\\x-3=-1\\x-3=3\\x-3=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=2\\x=6\\x=0\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn).

Vậy: \(x\in\left\{0;2;4;6\right\}\).

(b) \(f\left(x\right)⋮g\left(x\right)\Rightarrow\dfrac{2x^3-x^2+6x+2}{2x-1}\in Z\left(x\ne\dfrac{1}{2}\right)\)

Ta có: \(\dfrac{2x^3-x^2+6x+2}{2x-1}=\dfrac{x^2\left(2x-1\right)+3\left(2x-1\right)+5}{2x-1}=x^2+3+\dfrac{5}{2x-1}\)

nguyên khi và chỉ khi: \(\left(2x-1\right)\inƯ\left(5\right)=\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-1=1\\2x-1=-1\\2x-1=5\\2x-1=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=0\\x=3\\x=-2\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn).

Vậy: \(x\in\left\{-2;0;1;3\right\}\).

a: f(x) chia hết cho g(x)

=>x^2-3x-2x+6+3 chia hết cho x-3

=>3 chia hết cho x-3

=>x-3 thuộc {1;-1;3;-3}

=>x thuộc {4;2;6;0}

b: f(x) chia hết cho g(x)

=>2x^3-x^2+6x-3+5 chia hết cho 2x-1

=>5 chia hết cho 2x-1

=>2x-1 thuộc {1;-1;5;-5}

=>x thuộc {2;0;3;-2}

Để f(x) chia hết cho g(x). Áp dụng định lý Bozu ta được:

f(3/2) =0 <=>  f(3/2)= 2 *(3/2)^3 -7*(3/2)^2 +5*3/2 +m=0 

<=>-3/2 +m=0 <=> m=3/2

f(x) = 2x^3 - 7x^2 + 5x + m 
= 2x^3 - 3x^2 - 4x^2 + 6x - x + m 
= x^2 (2x - 3) - 2x( 2x - 3) - (x - m) 
= (2x - 3) (x^2 - 2x) - (x-m) chia chết cho g(x) = 2x - 3
--> x - m chia hết cho 2x - 3
-> 2x - 2m cũng chia hết cho 2x - 3
Gọi 2x - 2m = (2x - 3) * k 
Ta có : 2x - 2m = 2xk - 3k
Áp dụng phương  pháp đồng nhất thức hệ số, suy ra k = 1 và 3k = 2m
Suy ra, m = 3/2 * k = 3/2 * 1 = 3/2.
Vậy m = 3/2
 

1/ B chia đa thức f(x) cho g(x) như bình thường, dư 3

Để chia hết, số dư phải bằng 0

hay x- 2 thuộc ước của 3 bằng \(\pm1,\pm3\)

Ta có bảng gt:

.....

Vậy..........

a: f(x) chia hết cho g(x)

=>2x^2+4x-x-2+a+2 chia hết cho x+2

=>a+2=0

=>a=-2

b: f(x) chia hết cho g(x)

=>3x^2+6x+(m-6)x+2m-12-2m+7 chia hết cho x+2

=>-2m+7=0

=>m=7/2

Lời giải:

Nếu $n=3k$ với $k$ tự nhiên.

$f(x)=x^{6k}+x^{3k}+1=(x^{6k}-1)+(x^{3k}-1)+3$

$=(x^3)^{2k}-1+(x^3)^k-1+3$

$=(x^3-1)[(x^3)^{2k-1}+....+1]+(x^3-1)[(x^3)^{k-1}+...+1]+3$
$=(x-1)(x^2+x+1)[(x^3)^{2k-1}+....+1]+(x-1)(x^2+x+1)[(x^3)^{k-1}+...+1]+3$

$=(x-1)g(x)[(x^3)^{2k-1}+....+1]+(x-1)g(x)[(x^3)^{k-1}+...+1]+3$

$\Rightarrow f(x)$ chia $g(x)$ dư $3$ (loại) 

Nếu $n=3k+1$ với $k$ tự nhiên

\(f(x)=x^{2(3k+1)}+x^{3k+1}+1=x^{6k+2}+x^{3k+1}+1\\ =x^2(x^{6k}-1)+x(x^{3k}-1)+x^2+x+1\)

$=x^2[(x^3)^{2k}-1]+x[(x^3)^k-1]+x^2+x+1$

$=x^2(x^3-1)[(x^3)^{2k-1}+....+1]+x(x^3-1)[(x^3)^{k-1}+...+1]+x^2+x+1$
$=x^2(x-1)(x^2+x+1)[(x^3)^{2k-1}+....+1]+x(x-1)(x^2+x+1)[(x^3)^{k-1}+...+1]+x^2+x+1$

$=x^2(x-1)g(x)[(x^3)^{2k-1}+....+1]+x(x-1)g(x)[(x^3)^{k-1}+...+1]+g(x)\vdots g(x)$

Nếu $n=3k+2$ với $k$ tự nhiên

\(f(x)=x^{2(3k+2)}+x^{3k+2}+1=x^{6k+4}+x^{3k+2}+1\)

\(=x^4(x^{6k}-1)+x^2(x^{3k}-1)+x^4+x^2+1\)

$=x^4(x^{6k}-1)+x^2(x^{3k}-1)+x(x^3-1)+x^2+x+1$

Có:

$x^{6k}-1=(x^3)^{2k}-1\vdots x^3-1\vdots x^2+x+1$

$x^{3k}-1=(x^3)^k-1\vdots x^3-1\vdots x^2+x+1$

$x^3-1\vdots x^2+x+1$

$x^2+x+1\vdots x^2+x+1$

$\Rightarrow f(x)\vdots x^2+x+1$ hay $f(x)\vdots g(x)$

Vậy tóm lại với $n\not\vdots 3$ thì $f(x)\vdots g(x)$

\(F\left(x\right)=2x^3-7x^2+12x+a\)

\(G\left(x\right)=x+2\)

\(F\left(x\right):G\left(x\right)=2x^2-11x+34\) dư \(a-68\)

Để \(F\left(x\right)⋮G\left(x\right)\Rightarrow a-68=0\Rightarrow a=68\)

f(x) = x³ - 3x² - 3x - 1 ⋮ x² + x + 1

f(x) = x³ + x² - 4x² + x - 4x - 4 + 3 ⋮ x² + x + 1

f(x) = ( x³ + x² + x ) - ( 4x² + 4x + 4 ) + 3 ⋮ x² + x + 1

f(x) = x ( x² + x + 1 ) - 4 ( x² + x + 1 ) + 3 ⋮ x² + x + 1

f(x) = ( x² + x + 1 ) ( x - 4 ) + 3 ⋮ x² + x + 1

Mà ( x² + x + 1 ) ( x - 4 ) ⋮ x² + x + 1

=> 3 ⋮ x² + x + 1

=> x² + x + 1 thuộc Ư(3) = { 1; 3; -1; -3 }

Tự thay vào rồi tìm x thôi bạn 

VD :

x² + x + 1 = 1

<=> x² + x = 0

<=> x ( x + 1 ) = 0

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x+1=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-1\end{cases}}}\)

Xét tiếp 3 t/h còn lại nha bạn

Thanks