a: \(\dfrac{a+5}{a-5}=\dfrac{b+6}{b-6}\)

=>(a+5)(b-6)=(a-5)(b+6)

=>ab-6a+5b-30=ab+6a-5b-30

=>-6a+5b=6a-5b

=>-12a=-10b

=>6a=5b

=>\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{5}{6}\)

b: Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)

=>\(a=bk;c=dk\)

\(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\dfrac{b^2k^2+b^2}{d^2k^2+d^2}=\dfrac{b^2\left(k^2+1\right)}{d^2\left(k^2+1\right)}=\dfrac{b^2}{d^2}\)

\(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{bk\cdot b}{dk\cdot d}=\dfrac{b^2k}{d^2k}=\dfrac{b^2}{d^2}\)

Do đó: \(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\dfrac{ab}{cd}\)

Ta có \(A=a^5b-ab^5=a^5b-ab-ab^5+ab\) 

 \(A=\left(a^5b-ab\right)-\left(ab^5-ab\right)\)

\(A=b\left(a^5-a\right)-a\left(b^5-b\right)\)

Ta có \(m^5-m=m\left(m^4-1\right)=m\left(m^2-1\right)\left(m^2+1\right)\)

\(=m\left(m+1\right)\left(m-1\right)\left(m^2-4+5\right)\)

\(=m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m^2-4\right)-5m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\)

\(=m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m-2\right)\left(m+2\right)-5m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\)

\(=\left(m-2\right)\left(m-1\right)m\left(m+1\right)\left(m+2\right)-5\left(m-1\right)m\left(m+1\right)\)

Vì \(m-2;m-1;m;m+1;m+2\) là 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 ; 3 ; 5

Mà \(\left(2;3;5\right)=1\)

\(\Rightarrow\left(m-2\right)\left(m-1\right)m\left(m+1\right)\left(m+2\right)\) chia hết cho \(2\times3\times5=30\)

\(\Rightarrow m^5-m\) chia hết cho 30 

\(\Rightarrow a^5-a\) và \(b^5-b\) Chia hết cho 30

\(\Rightarrow b\left(a^5-a\right)-a\left(b^5-b\right)\) chia hết cho 30 

\(\Rightarrow A=a^5b-ab^5\) chia hết cho 30 

Vậy A chia hết cho 30

Giả sử a+b không chia hết cho 5

Suy ra:

\(\left(a+b\right)^5\)không chia hết cho 5

\(\Leftrightarrow a^5+b^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4\)không chia hết cho 5

\(\Leftrightarrow\left(a^5+b^5\right)+5\cdot A\)không chia hết cho 5

\(\Leftrightarrow a^5+b^5\)không chia hết cho 5

Phản giả thiết

Vậy ......

Nếu không sử dụng phản chứng ta có thể chứng minh bằng pp khai triển giả thiết

\(a^5+b^5=\left(a+b\right)\left(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4\right)⋮5\)

Suy ra: \(\left(a+b\right)⋮5\)

Cũng có thể giải bằng quy nạp toán học

a) vì a<b

<=>-5a>-5b

mà 7>2

<=>7-5a>2-5b

b) vì m<n <=>2m<2n<=>2m-5<2n-5

a) Ta có:

\(A=4+4^2+4^3+...+4^{90}\)

\(A=\left(4+4^2\right)+\left(4^3+4^4\right)+...+\left(4^{89}+4^{90}\right)\)

\(A=20+4^2.\left(4+4^2\right)+...+4^{88}.\left(4+4^2\right)\)

\(A=20+4^2.20+...+4^{88}.20\)

\(A=20.\left(1+4^2+...+4^{88}\right)\)

Vì \(20⋮5\) nên \(20.\left(1+4^2+...+4^{88}\right)⋮5\)

Vậy \(A⋮5\)

____________

b) Ta có:

\(A=4+4^2+4^3+...+4^{90}\)

\(A=\left(4+4^2+4^3\right)+...\left(4^{88}+4^{89}+4^{90}\right)\)

\(A=84+...+4^{87}.\left(4+4^2+4^3\right)\)

\(A=84+...+4^{87}.84\)

\(A=84.\left(1+...+4^{87}\right)\)

Vì \(84⋮21\) nên \(84.\left(1+...+4^{87}\right)⋮21\)

Vậy \(A⋮21\)

\(#WendyDang\)

Bài 1: 

a) P=(a+5)(a+8) chia hết cho 2

Nếu a chẵn => a+8 chẵn=> a+8 chia hết cho 2 => (a+5)(a+8) chia hết cho 2

Nếu a lẽ => a+5 chẵn => a+5 chia hết cho 2 => (a+5)(a+8) chia hết cho 2

Vậy P luôn chia hết cho 2 với mọi a

b) Q= ab(a+b) chia hết cho 2

Nếu a chẵn => ab(a+b) chia hết cho 2

Nếu b chẵn => ab(a+b) chia hết cho 2

Nếu a và b đều lẽ => a+b chẵn => ab(a+b) chia hết cho 2

Vậy Q luôn chia hết cho 2 với mọi a và b

bài 3:n⁵- n= n(n-1)(n+1)(n²+1)=n(n-1)(n+1)(n²+5-4)=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5n(n-1)(n+1).

Vì: n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) là 5 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 10                   (1)

ta lại có: n(n+1) là 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2

=> 5n(n-1)n(n+1) chia hết cho 10                                                                     (2)

Từ (1) và (2) => n⁵- n chia hết cho 10

a) a lẻ suy ra a+5 chia hết cho 2

a chẵn suy ra a+8 chia hết cho 2

\(\frac{a+5}{a-5}=\frac{b+6}{b-6}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+5\right).\left(b-6\right)=\left(a-5\right).\left(b+6\right)\)

\(\Leftrightarrow ab-6a+5b-30=ab+6a-5b-30\)

\(\Leftrightarrow12a=10b\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\left(dpcm\right)\)

\(\frac{a+5}{a-5}=\frac{b+6}{b-6}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+5\right)\left(b-6\right)=\left(b+6\right)\left(a-5\right)\)

\(\Leftrightarrow ab-6a+5b-30=ab+6a-5b-30\)

\(\Leftrightarrow ab-6a+5b-30-ab-6a+5b+30=0\)

\(\Leftrightarrow-12a+10b=0\)

\(\Leftrightarrow-\frac{b}{12}=-\frac{a}{10}\)

\(\Leftrightarrow\frac{b}{12}=\frac{a}{10}\)

Tự lm tiếp 

Làm tiếp bài của ヅViruSş ミ★Čøɾøŋα★彡

\(\frac{b}{12}=\frac{a}{10}\)<=> \(\frac{a}{b}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\)