Ta có : 

\(A=\sqrt{\left(2a-3b\right)^2}+2\sqrt{\left(b-c\right)^2}+\sqrt{\left(2c-3a\right)^2}\)

\(A=\left|2a-3b\right|+2\left|b-c\right|+\left|2c-3a\right|\)

\(\ge3b-2a+2\left(c-b\right)+\left(3a-2c\right)=a+b\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}3b-2a,c-b,3a-2c\ge0\\a=b=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=1\\1\le c\le\frac{3}{2}\end{cases}}}\)

Vậy Min A = 2 khi a = b = 1 và c \(\in\)\(\left[1,\frac{3}{2}\right]\)

Cách làm dài bạn thông cảm mình  nghĩ được có zậy thui ak :/

Ta có a, b là các số thực dương 

Từ \(a+3b=ab\Leftrightarrow\frac{1}{b}+\frac{3}{a}=1\ge2\sqrt{\frac{3}{ab}}.\)(bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm)

\(\Leftrightarrow\frac{12}{ab}\le1\Leftrightarrow ab\ge12\)\(\Leftrightarrow84ab-72ab\ge144\Leftrightarrow84ab\ge72\left(ab+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{12ab}{ab+2}\ge\frac{72}{7}\left(1\right)\)

Ta có \(P=\frac{a^2}{1+3b}+\frac{9b^2}{1+a}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{1+3b}\frac{9b^2}{1+a}}=\frac{6ab}{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1+3b\right)}}\)(Bất đẳng thức Cauchy)

                                                      \(\ge\frac{6ab}{\frac{1+a+1+3b}{2}}=\frac{12ab}{a+3b+2}=\frac{12ab}{ab+2}\)(Bất đẳng thức Cauchy ngược dấu )

Kết hợp với (1) ta được :

\(P\ge\frac{12ab}{ab+2}\ge\frac{72}{7}.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P=\frac{72}{7}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=3b\\a+3b=ab\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=6\\b=2\end{cases}.}}\)

Lời giải:

Ta có :\(\frac{a^2+9b^2}{a-3b}=\frac{a^2+9b^2-6ab+6ab}{a-3b}\)

\(=\frac{(a-3b)^2+6}{a-3b}\) (do $ab=1$)

\(=a-3b+\frac{6}{a-3b}\geq 2\sqrt{(a-3b).\frac{6}{a-3b}}=2\sqrt{6}\) (theo bđt Cauchy)

Do đó ta có đpcm