Trả lời :

 Hình bạn tự phác ra nhé.

Vì \(\widehat{EAF}+\widehat{EHF}=180^o\)

=> Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn.

\(\Rightarrow\widehat{EAH}=\widehat{EFH}\)(1)

Mặt khác, \(\widehat{EHF}=\widehat{BAC}=90^o\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\Delta ABC~\Delta HEF\)(g.g)

\(\Rightarrow\frac{AB}{HE}=\frac{BC}{EF}\)

=> HE . BC = EF . AB (đpcm)

F thuộc đoạn nào ??

cm: HEF = BCA

@Đặng Ngọc Quỳnh Nếu bạn đã mất công làm thì làm cả TH F thuộc AB nữa chứ. Đề có nói F thuộc đoạn nào đâu

a, Vì AE là vừa là đg cao (AE⊥HM) vừa là trung tuyến nên tg AHM cân tại A

Do đó AH=AM

Vì AF là vừa là đg cao (AF⊥HN) vừa là trung tuyến nên tg AHN cân tại A

Do đó AH=AN

Từ đó ta được AM=AN hay tg AMN cân tại A

b, Vì E,F là trung điểm HM,HN nên EF là đtb tg MHN

Do đó EF//MN

c, Vì AI là trung tuyến tg AMN cân tại A nên AI cũng là đg cao

Do đó AI⊥MN

Mà EF//MN nên AI⊥EF

d, Vì tg AEH và tg AFH cân tại A nên AE,AF lần lượt là p/g \(\widehat{MAH}\) và \(\widehat{NAH}\)

Do đó \(\widehat{MAN}=\widehat{MAH}+\widehat{NAH}=2\cdot\widehat{EAH}+2\cdot\widehat{FAH}=2\cdot\widehat{BAC}\)

\(a,\widehat{AFH}=\widehat{AEH}=\widehat{EAF}=90^0\) nên \(AFHE\) là hcn

\(b,\) Vì \(AFHE\) là hcn nên \(AE=FH=FM\left(t/c.đối.xúng\right);AE//FH\)

\(\left\{{}\begin{matrix}AE=FM\\AE//FM\left(AE//FH\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow AEFM\) là hbh

\(c,\) Tam giác AHN có AE vừa là đường cao và trung tuyến nên cân tại A

Do đó AE cũng là p/g \(\widehat{HAN}\)

\(\Rightarrow\widehat{NAE}=\widehat{HAE}\)

Mà \(\widehat{HAE}=\widehat{ACB}\left(cùng.phụ.với.\widehat{ACH}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{NAE}=\widehat{ACB}\left(1\right)\)

Vì AI là trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác ABC vuông tại A nên \(AI=BI=IC=\dfrac{1}{2}BC\Rightarrow\Delta AIB\) cân tại I

\(\Rightarrow\widehat{IAB}=\widehat{ABC}\left(2\right)\\ \left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\widehat{NAE}+\widehat{IAB}=\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=90^0\left(\Delta ABC.vuông.tại.A\right)\\ \Rightarrow\widehat{IAN}=90^0\\ \Rightarrow AI\perp MN\)

a) ta có

ˆHBA+ˆHAB=900;ˆHAB+ˆHAF=900⇒ˆHBA=ˆHAF(1)HBA^+HAB^=900;HAB^+HAF^=900⇒HBA^=HAF^(1)

ˆBHE+ˆEHA=900;ˆEHA+ˆFHA=900⇒ˆBHE=ˆFHA(2)BHE^+EHA^=900;EHA^+FHA^=900⇒BHE^=FHA^(2)

xét △BEH và △AFH có

(1) và (2)

⇒ △BEH ~ △AFH(g - g)

b) xét △AHB và △CAB có

ˆH=ˆA=900;ˆBH^=A^=900;B^ chung

⇒ △AHB ~ △CAB (g - g)

⇒BHBA=AHAC⇒BHAH=ABAC⇒BHBA=AHAC⇒BHAH=ABAC

từ câu a ⇒ EHFH=BHAHEHFH=BHAH

⇒ ABAC=EHFH⇒ABEH=ACFH(3)ABAC=EHFH⇒ABEH=ACFH(3)

xét △CAB và △FHE có

(3); ˆA=ˆH=900A^=H^=900

⇒ △CAB ~ △FHE (g - g)

⇒ ABHE=BCEF⇒AB.EF=HE.BCABHE=BCEF⇒AB.EF=HE.BC ⇒ đpcm

a: Xét tứ giác AEHF có

góc AEH=góc AFH=góc FAE=90 độ

nên AEHF là hình chữ nhật

=>EF=AH

b: \(BC=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)

AH=3*4/5=2,4cm

S=1/2*3*4=6(cm²)