Cho các số a,b,c nguyên thỏa mãn \(a^4+b^4+c^4\)là số chính phương ,chứng minh rằng
a) abc chia hết 25
b)abc chia hết cho 100
Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn a4+b4+c4 là số chính phương. Chứng minh rằng abc chia hết cho 100.
+) Ta có: 1 số chia 5 có số dư là: 0; 1; 2; 3; 4
=> 1 số chính phương chia 5 sẽ có số dư là: 0; 1; 4
=> Lũy thừa bậc 4 của 1 số tự nhiên chia 5 sẽ có số dư là: 0; 1
=> các số \(a^4;b^4;c^4\) chia cho 5 sẽ có bộ 3 số dư là: 0; 0; 0 hoặc 1;1;1 hoặc 1; 0; 0 hoặc 1; 1; 0
Nếu \(a^4;b^4;c^4\)chia cho 5 sẽ có bộ 3 số dư là: 1;1;1 hoặc 1; 1; 0
=> \(a^4+b^4+c^4\)chia cho 5 có số dư là 3 hoặc 2 vô lí vì \(a^4+b^4+c^4\) là một số chinh phương chia 5 dư 0; 1; 4
Do đó tồn tại 2 số trong 3 số chia cho 5 dư 0 hay chia hết cho 5
=> Giả sử đó là \(a^4⋮5\) và \(b^4⋮5\) => \(a,b⋮5\)=> \(abc⋮25\)(1)
+) Xét các trường hợp chẵn lẻ: nhận xét: Số chính phương chẵn chia 8 dư 0 hoặc 4; Số chính phương lẻ chia 8 dư 1
=> Lũy thừa bậc 4 của 1 số tự nhiên chẵn chia hết cho 8; Lũy thừa bậc 4 của 1 số tự nhiên lẻ chia 8 dư 1
Nếu a, b, c lẻ => \(a^4+b^4+c^4\)chia 8 dư 3 loại
Nếu 2 trong 3 số a, b, c lẻ => \(a^4+b^4+c^4\)chia 8 dư 2 loại
=> Tồn tại 2 trong 3 số a, b, c là số chẵn
=> \(abc⋮4\)(2)
từ (1); (2) và (4;25) = 1; 4.25=100
=> \(abc⋮100\)
Cho các số nguyên a,b,c thỏa mãn:\(a^4+b^4+c^4\)là số chính phương.CMR:
a)abc chia hết cho \(25\)
b)abc chia hết cho \(10^2\)
Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn ab+bc+ca+1 chia hết cho 5. Chứng minh rằng abc(a + b + c + abc) chia hết cho 5
Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn ab+bc+ca+1 chia hết cho 5. Chứng minh rằng abc(a + b + c + abc) chia hết cho 5
Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn ab+bc+ca+1 chia hết cho 5. Chứng minh rằng abc(a + b + c + abc) chia hết cho 5
Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn ab+bc+ca+1 chia hết cho 5. Chứng minh rằng abc(a + b + c + abc) chia hết cho 5
Cho các số nguyên a, b thỏa mãn a2 + b2 - 2a(b+4) = 0 . Chứng minh rằng a chia hết cho 2 và a/2 là số chính phương.
Từ đề bài \(\Rightarrow a^2+b^2-2ab-8a=0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2=8a\)
Hay \(\left(a-b\right)^2=4.2a\)
Vì \(\left(a-b\right)^2;4\)là số chính phương nên \(2a\) là số chính phương chẵn \(\Rightarrow2a=4k^2\left(k\in Z\right)\)
Do đó \(a=2k^2⋮2\) và \(\frac{a}{2}=k^2\) là số chính phương (ĐPCM)
gưgeegfewbfdqa
fcxvmbn mghtfrqwertyuiopasdfghjklzxcvbnm
Tìm tất cả các chữ số a,b,c thỏa mãn
abc-cba=6b3
Tìm một số chính phương có 3 chữ số biết rằng nó chia hết cho 56
CMR: A=75(42018+42017+....+42+5)+25 chia hết cho 42019
Cho M = (a+b)(b+c)(c+a) - abc (với a,b,c là các số nguyên)
Chứng minh rằng: Nếu a+b+c chia hết cho 4 thì M chia hết cho 4
Ta có:P=(a+b)(a+c)(b+c)-abc=(a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2+abc+abc)-abc
=(a2b+ab2+abc)+(a2c+ac2+abc)+(b2c+bc2+abc)-2abc
=ab(a+b+c)+ac(a+b+c)+bc(a+b+c)-2abc
=(a+b+c)(ab+ac+bc)-2abc
thấy a+b+c chia hết cho 4 => (a+b+c)(ab+bc+ac) chia hết cho 4 (1)
Do a+b+c chia hết cho 4 => tồn tại ít nhất trong 3 số a,b,c một số chia hết cho 2=>2abc chia hết cho 4 (2)
Tù (1) và (2)=>P chia hết cho 4
Ta có:P=(a+b)(a+c)(b+c)-abc=(a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2+abc+abc)-abc
=(a2b+ab2+abc)+(a2c+ac2+abc)+(b2c+bc2+abc)-2abc
=ab(a+b+c)+ac(a+b+c)+bc(a+b+c)-2abc
=(a+b+c)(ab+ac+bc)-2abc
thấy a+b+c chia hết cho 4 => (a+b+c)(ab+bc+ac) chia hết cho 4 (1)
Do a+b+c chia hết cho 4 => tồn tại ít nhất trong 3 số a,b,c một số chia hết cho 2=>2abc chia hết cho 4 (2)
Tù (1) và (2)=>P chia hết cho 4
Ta có:P=(a+b)(a+c)(b+c)-abc=(a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2+abc+abc)-abc
=(a2b+ab2+abc)+(a2c+ac2+abc)+(b2c+bc2+abc)-2abc
=ab(a+b+c)+ac(a+b+c)+bc(a+b+c)-2abc
=(a+b+c)(ab+ac+bc)-2abc
thấy a+b+c chia hết cho 4 => (a+b+c)(ab+bc+ac) chia hết cho 4 (1)
Do a+b+c chia hết cho 4 => tồn tại ít nhất trong 3 số a,b,c một số chia hết cho 2=>2abc chia hết cho 4 (2)
Tù (1) và (2)=>P chia hết cho 4