Cho bảng kích thước n x m. Hỏi có bao nhiêu cách điền các số -1 và 1 vào các ô trong bảng sao cho tích các số trong cùng 1 hàng và trong cùng 1 một cột bằng 1.
Xét một bảng ô vuông gồm 4 x 4 ô vuông. Người ta điền vào mỗi ô vuông một trong hai số 1 hoặc 1 sao cho tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột đều bằng 0. Hỏi có bao nhiêu cách điền số?
A. 144
B. 90
C. 80
D. 72
Chọn B.
Cách giải:
Nhận xét: Để tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột đều bằng 0 thì số lượng số 1 và số lượng số -1 trong mỗi hàng và mỗi cột đều là 2.
⇔ Mỗi hàng và mỗi cột đều có đúng 2 số 1.
- Ở mỗi hàng mà chứa 2 ô vừa được chọn, ta chọn đúng 1 ô để đặt số 1, khi đó có 2 trường hợp:
Khi đó, ở 2 hàng còn lại có duy nhất cách đặt số 1 vào 4 ô : không cùng hàng và cột với các ô đã điền. Như hình vẽ sau:
TH2: 2 ô được chọn khác hàng: có: 3.2 = 6 (cách)
Ví dụ:
Khi đó, số cách đặt 4 số 1 còn lại là: 1.1.2! = 2 (cách), trong đó, 2 số 1 để vào đúng 2 ô còn lại của cột chưa điền, 2 số 1 còn lại hoàn vị vào 2 ô ở 2 cột vừa điền ở bước trước. Ví dụ:
Xét một bảng ô vuông gồm 4 × 4 ô vuông. Người ta điền vào mỗi ô vuông một trong hai số 1 hoặc 1 sao cho tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột đều bằng 0. Hỏi có bao nhiêu cách điền số?
Xét một bảng ô vuông gồm 4x4 ô vuông. Người ta điền vào mỗi ô vuông đó một trong hai số 1 hoặc -1 sao cho tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột đều bằng 0. Hỏi có bao nhiêu cách?
Xét một bảng ô vuông gồm 4x4 ô vuông. Người ta điền vào mỗi ô vuông đó một trong hai số 1 hoặc -1 sao cho tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột đều bằng 0. Hỏi có bao nhiêu cách?
Trên mỗi hàng, mỗi cột phải có hai số -1, hai số 1.
Ta sẽ xếp theo hàng.
Ta có các khả năng của các hàng như sau:
(1) 1, 1, -1, -1
(2) 1, -1, -1, 1
(3) -1, -1, 1, 1
(4) -1, 1, -1, 1
(5) 1, -1, 1, -1
(6) -1, 1, 1, -1
Giả sử hàng 1 ta điền bộ (1). Ta có các trường hợp sau:
TH1: Hàng 2 điền bộ (1), khi đó hàng 3, hàng 4 ta phải điền bộ (3).
TH2: Hàng 2 điền bộ để tổng 2 số trong của các cột bằng 0, khi đó ta điền bộ (3). Hàng 3 và hàng 4 khi đó cũng phải điền sao cho tổng các cột trong hai hàng bằng 0. Có 6 cách điền như vậy.
TH3: Hàng 2 điền sao cho có 2 cột trong 4 cột có tổng bằng 0. Có 4 cách. Khi đó điền hàng 3 có 2 cách, điền hàng 4 có 1 cách. Tổng số cách là: 1.4.2.1=8 (cách).
Vậy có tổng số cách là: 6.(1 + 6 + 8) = 90 (cách).
Xét bảng ô vuông gồm 4 x 4 ô vuông. Người ta điền vào mỗi ô vuông đó một trong hai số 1 hoặc -1 sao cho tổng các số trong mỗi hang và tổng các số trong mỗi cột đều bằng 0. Hỏi có bao nhiêu cách?
A. 72
B. 90
C. 80
D. 144
Đáp án A
Xét 1 hàng (hay 1 cột bất kì). Giả sử trên hàng đó có x số 1 và y số -1. Ta có tổng các chữ số trên hàng đó là x - y. Theo đề bài có x - y = 0 ⇔ x = y.
Lần lượt xếp các số vào các hàng ta có số cách sắp xếp là 3!.3!.2.1 =72 (Cách)
Xét bảng ô vuông gồm 4 x 4 ô vuông. Người ta điền vào mỗi ô vuông đó một trong hai số 1 hoặc -1 sao cho tổng các số trong mỗi hang và tổng các số trong mỗi cột đều bằng 0. Hỏi có bao nhiêu cách?
A. 72
B. 90
C. 80
D. 144
Trên mỗi ô vuông của một bảng 4x4, người ta điền một trong hai số 1 hoặc -1 sao cho tổng các số trên mỗi hàng bằng 0 và tổng các số trên mỗi cột bằng 0. Hỏi có bao nhiêu cách điền như vậy?
Trong mỗi ô vuông của bảng ô vuông kích thước n\(\times\)n (n là số nguyên dương lẻ) ta viết một trong hai số 1 và -1, một cách tùy ý. Dưới mỗi cột ta viết tích tất cả các số trong cột đó, về phía bên phải của mỗi hàng ta viết tích tất cả các số của hàng đó. Chứng minh rằng tổng tất cả 2n tích vừa viết là một số khác 0.
Gọi tích tất cả các số của mỗi hàng lần lượt là \(a_1,a_2,...,a_n\) và tương ứng số số bằng -1 ở mỗi hàng này lần lượt là \(m_1,m_2,...,m_n\). Khi đó \(a_i=\left(-1\right)^{m_i},\forall i\in\overline{1,n}\).
Tương tự gọi tích tất cả các số ở mỗi cột lần lượt là \(b_1,b_2,...,b_n\) và tương ứng số số bằng -1 ở mỗi cột này lần lượt là \(p_1,p_2,...,p_n\) thì \(b_i=\left(-1\right)^{p_i}.\forall i\in\overline{1,n}\).
Dễ thấy \(m_1+m_2+...+m_n=p_1+p_2+...+p_n\).
Giả sử tổng tất cả 2n tích đó bằng 0.
Khi đó \(\left(-1\right)^{m_1}+\left(-1\right)^{m_2}+...+\left(-1\right)^{m_n}+\left(-1\right)^{p_1}+\left(-1\right)^{p_2}+...+\left(-1\right)^{p_n}=0\).
Gọi x là số số chẵn trong các số \(m_1,m_2,...,m_n\) và y là số số chẵn trong số \(p_1,p_2,...,p_n\).
Ta có \(0=\left(-1\right)^{m_1}+\left(-1\right)^{m_2}+...+\left(-1\right)^{m_n}+\left(-1\right)^{p_1}+\left(-1\right)^{p_2}+...+\left(-1\right)^{p_n}=x-\left(n-x\right)+y-\left(n-y\right)=2\left(x+y\right)-2n\)
\(\Rightarrow x+y=n\).
Mà n lẻ nên x, y khác tính chẵn, lẻ.
Giả sử x chẵn, y lẻ. Khi đó \(m_1+m_2+...+m_n\) là số lẻ và \(p_1+p_2+...+p_n\) là số chẵn, vô lí.
Vậy...
Trong một bảng ô vuông kích thước 100x100 ta điền vào mỗi ô một dấu (+). Ta tiến hành biến đổi như sau:Mỗi lần ta đổi dấu tất cả các ô trong cùng một hàng hoặc trong cùng một cột(dấu (+) thành dấu (-), và dấu (-) thành dấu (+)).Hỏi sau một số hữu hạn bước biến đổi như trên, liệu trên bảng có đúng 2016 dấu trừ hay không?