\(\Delta=\left(2m\right)^2-4.1.\left[-\left(2m+3\right)\right]=4m^2+8m+12\)

\(=4.\left(m^2+2m+3\right)=4.\left(m+1\right)^2+8\ge8>0\)   ∀m

⇒ Phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m (ĐPCM)

pt có \(\Delta'\)=[-(m)]\(^2\)-(m-7)=m\(^2\)-m+7

                                           =m^2-m+\(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+7\)

                                            =(m-1/2)^2+27/4   ( Vì( m-1/2)^2>=0 mọi m nên (m-1/2)^2+27/4 >0 mọi m)\(\Rightarrow\)\(x^2-2mx+m-7=0\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

đen ta phẩy=m^2 - m + 7 = m^2 - 2 x m x 1/2 + 1/4 - 1/4 + 7 = (m-1/2)^2 + 15/2

TC: (m - 1/2)^2 > hoặc =0 với mọi m

suy ra (m - 1/2)^2 + 15/2 >0 với mọi m

Vậy phương trình luôn có 2 no phân biệt với mọi m

Phương trình ax + b = 0 hoặc ax = b vô nghiệm khi a= 0 và b ≠ 0 .

Xét phương án C:

m m x - 1 = m 2 + 1 x - m ⇔ m 2 x = m 2 x + 1 - m

⇔ 0 x = 1   (vô lí) nên phương trình này vô nghiệm.

Chọn C.

Phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Ta có:\(\Delta'=m^2-\left(2m-3\right)=m^2-2m+3=\left(m^2-2m+1\right)+2=\left(m-1\right)^2+2>0\)

Suy ra pt luôn có 2 nghiệm phân biệt

\(a) x^2 - 2mx + 2m - 3 = 0.\)

\(∆ ' = m^2 -(2m-3) = m^2 -2m +1 +2 = (m-1) ^2 +2\)

Có \((m+1) ^2 ≥0 <=> (m+1)^2 +2 ≥2 >0\)

\(=> ∆'>0 <=> PT\) luôn có 2 nghiệm \(PB\) với mọi m

꧁༺๖ۣ๖ۣۜSkyღ๖ۣۜlạnh☯๖ۣۜlùngɠɠ༻꧂

\(b) x^2 - 2mx + 2m - 3 = 0. \)

\(PT\)có 2 nghiệm trái dấu

\(<=> 1.(2m-3) <0\)

\(<=> 2m-3 <0\)

\(<=> m <3/2\)

Lời giải:

a) Khi $m=1$ thì pt trở thành:

$x^2-2x-5=0$

$\Leftrightarrow (x-1)^2=6$

$\Rightarrow x=1\pm \sqrt{6}$ 

b) Để $x_1=3$ là nghiệm của pt thì:

$3^2-2.m.3+2m-7=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$

Nghiệm còn lại $x_2=(x_1+x_2)-x_1=2m-x_1=2.\frac{1}{2}-3=-2$

c) 

$\Delta'= m^2-(2m-7)=(m-1)^2+6>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

Theo định lý Viet: $x_1+x_2=2m$ và $x_1x_2=2m-7$

Khi đó: 

Để $x_1^2+x_2^2=13$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=13$

$\Leftrightarrow (2m)^2-2(2m-7)=13$

$\Leftrightarrow 4m^2-4m+1=0\Leftrightarrow (2m-1)^2=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$

d) 

$x_1^2+x_2^2+x_1x_2=(x_1+x_2)^2-x_1x_2$

$=(2m)^2-(2m-7)=4m^2-2m+7=(2m-\frac{1}{2})^2+\frac{27}{4}\geq \frac{27}{4}$
Vậy $x_1^2+x_2^2+x_1x_2$ đạt min bằng $\frac{27}{4}$. Giá trị này đạt tại $m=\frac{1}{4}$