Gọi G là trọng tâm ΔABC

⇒ VT = 6MG

VP  = \(\left|2\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MA}\right|\)

VP = \(\left|6\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{AC}\right|\)

Xác định điểm I sao cho \(6\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\) (cái này chắc bạn làm được)

VP = \(\left|6\overrightarrow{MI}+6\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{AC}\right|\)

VP = 6 MI

Khi VT = VP thì MG = MI

⇒ M nằm trên đường trung trực của IG

Tập hợp các điểm M : "Đường trung trực của IG"

Lời giải:

a.

\(|\overrightarrow{MC}|=|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{BA|}\)

Tập hợp điểm $M$ thuộc đường tròn tâm $C$ đường bán kính $AB$

b. Gọi $I$ là trung điểm $AB$. Khi đó:

\(|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}|\)

\(=|2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}|=|2\overrightarrow{MI}|=0\)

\(\Leftrightarrow |\overrightarrow{MI}|=0\Leftrightarrow M\equiv I\)

Vậy điểm $M$ là trung điểm của $AB$

c.

Trên tia đối của tia $CA$ lấy $K$ sao cho $KC=\frac{1}{3}CA$

\(|\overrightarrow{MA}|=2|\overrightarrow{MC}|\Leftrightarrow |\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KA}|=2|\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KC}|\)

\(\Leftrightarrow |\overrightarrow{MK}+4\overrightarrow{KC}|=|2\overrightarrow{MK}+2\overrightarrow{KC}|\)

\(\Leftrightarrow (\overrightarrow{MK}+4\overrightarrow{KC})^2=(2\overrightarrow{MK}+2\overrightarrow{KC})^2\)

\(\Leftrightarrow MK^2+16KC^2=4MK^2+4KC^2\)

\(\Leftrightarrow 12KC^2=3MK^2\Leftrightarrow MK=2KC=\frac{2}{3}AC\)

Vậy $M$ thuộc đường tròn tâm $K$ bán kính $\frac{2}{3}AC$

d.
Gọi $I$ là trung điểm $BC$

\(|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}|\)

\(\Leftrightarrow |\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}|=|\overrightarrow{CB}|\)

\(\Leftrightarrow |2\overrightarrow{MI}|=|\overrightarrow{CB}|\Leftrightarrow |\overrightarrow{MI}|=\frac{|\overrightarrow{CB}|}{2}\)

Vậy điểm $M$ thuộc đường tròn tâm $I$ bán kính $\frac{BC}{2}$
 

a) Từ điểm I trên AB thỏa mãn IA = 1/2 IB ta vẽ đường song song với BC. Điểm N nằm trên đó.

B) tương tự câu a)

một đường tròn

trên AC lấy điểm I sao cho \(\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IC}\)

KHI ĐÓ: \(|\overrightarrow{-MI}+\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|\)

chọn điểm K trung điểm BC

\(|\overrightarrow{IB}|=|2\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}|\rightarrow IB=2MK\)

vậy M thuộc tập hợp đường tròn đường kình IB tâm K

trên AC lấy điểm I sao cho

KHI ĐÓ:

chọn điểm K trung điểm BC

vậy M thuộc tập hợp đường tròn đường kình IB tâm K

Gọi D là trung điểm BC và G là trọng tâm tam giác ABC

Theo tính chất trọng tâm: \(AG=\dfrac{2}{3}AD\)

\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{CM}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right|=\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|3\overrightarrow{MG}\right|=\left|-2\overrightarrow{AD}\right|\)

\(\Leftrightarrow MG=\dfrac{2}{3}AD=AG\)

\(\Rightarrow\) Tập hợp M là mặt cầu tâm G bán kính AG với G là trọng tâm tam giác ABC