Ta có 

\(\dfrac{1}{2^2}< \dfrac{1}{1.2}\)

\(\dfrac{1}{3^2}< \dfrac{1}{2.3}\)

..............

\(\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{99.100}\)

=> S < \(\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{99.100}\)

S < \(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)

\(S< 1-\dfrac{1}{100}< 1\)(do 1/100 >0)

ĐPcm

Giải:

\(S=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{99^2}+\dfrac{1}{100^2}\) 

Ta có:

\(\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{2.2}< \dfrac{1}{1.2}\) 

\(\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{3.3}< \dfrac{1}{2.3}\) 

\(\dfrac{1}{4^2}=\dfrac{1}{4.4}< \dfrac{1}{3.4}\) 

\(...\) 

\(\dfrac{1}{99^2}=\dfrac{1}{99.99}< \dfrac{1}{98.99}\) 

\(\dfrac{1}{100^2}=\dfrac{1}{100.100}< \dfrac{1}{99.100}\) 

\(\Rightarrow S< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{98.99}+\dfrac{1}{99.100}\) 

\(\Rightarrow S< \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{98}-\dfrac{1}{99}+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\) 

\(\Rightarrow S< \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{100}< 1\) 

\(\Rightarrow S< 1\) 

Vậy S < 1.

\(A=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{99}}\)

\(3A=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{98}}\)

\(3A-A=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{98}}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{99}}\right)\)

\(2A=1-\frac{1}{3^{99}}\)

\(A=\frac{1-\frac{1}{3^{99}}}{2}\)

Ta đặt \(C=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)

Ta so sánh giữa A và C.

\(\frac{1}{3}< \frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3};\frac{1}{3^3}< \frac{1}{3.4};....;\frac{1}{3^{99}}< \frac{1}{99.100}\Leftrightarrow A< C\)( 1 )

 \(C=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}=\frac{1}{1}-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}\)

Mà \(\frac{99}{100}< \frac{1}{2}\Rightarrow C< B\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 )

 \(\Rightarrow A< C< B\Leftrightarrow A< B\)

A=1/3 +1/3^2+...+1/3^99

-> 3A= 1+1/3+1/3^2+...+1/3^98

-> 3A-A=2A=1-1/3^99 

A=(1-1/3^99)/2. vì 1-1/3^99 < 1  -> A< B.               Vậy A < B

Ta có:B=1/2^2+1/3^2+...+1/100^2<1/1*2+1/2*3+...+1/99*100

B<1-1/100<1

Mà A=1 

Nên B<A 

k cho mình với nha

\(S=\frac{3}{1^2\cdot2^2}+\frac{5}{2^2\cdot3^2}+\frac{7}{3^2\cdot4^2}+...+\frac{99}{49^2\cdot50^2}\)

\(=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}+.....+\frac{1}{49^2}-\frac{1}{50^2}\)

\(=1-\frac{1}{50^2}=\frac{2499}{2500}\)

\(T=\frac{1}{\left(2-1\right)\left(2+1\right)}+\frac{1}{\left(3-1\right)\left(3+1\right)}+...+\frac{1}{\left(50-1\right)\left(50+1\right)}\)

\(=\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{2\cdot4}+\frac{1}{3\cdot5}+...+\frac{1}{49\cdot51}\)

\(=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{51}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\cdot\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{51}\right)=\frac{151}{204}\)

Vì \(\frac{2499}{2500}>\frac{151}{204}\)nên S>T

JOKER_Võ Văn Quốc, T = \(\frac{1}{2}.\left(1-\frac{1}{51}+\frac{1}{2}-\frac{1}{50}\right)\)mới đúng
Sẽ dễ hơn nếu bạn chia ra 2 vế \(\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+...+\frac{1}{49.51}\)và \(\frac{1}{2.4}+\frac{1}{4.6}+...+\frac{1}{48+50}\)

Câu hỏi của Lê Thị Minh Trang - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath

Xem bài 1 nhé !

Bài 1:

Xét vế phải :

\(P=\frac{99}{50}-\frac{97}{49}+...+\frac{7}{4}-\frac{5}{3}+\frac{3}{2}\)\(-1=2\)\(\left(\frac{99}{100}-\frac{97}{98}+...+\frac{7}{8}-\frac{5}{6}+\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\right)\)

\(=2\left(\left(1-\frac{1}{100}\right)-\left(1-\frac{1}{98}\right)+...+\left(1-\frac{1}{4}\right)-\left(1-\frac{1}{2}\right)\right)\)

\(=2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+...+\frac{1}{98}-\frac{1}{100}\right)\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

\(=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{49}+\frac{1}{50}\right)-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{50}\right)\)

\(=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{25}+\frac{1}{26}+...+\frac{1}{50}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{25}\right)\)

\(=\frac{1}{26}+\frac{1}{27}+...+\frac{1}{49}+\frac{1}{50}\)

Đẳng thức được chứng tỏ là đúng

Bài 2 :

Đặt \(A'=\frac{3}{4}.\frac{4}{5}.\frac{7}{8}...\frac{4999}{5000}\)

Rõ ràng \(A< A'\)

SUY RA \(A^2< AA'=\frac{2}{50000}=\frac{1}{2500}=\left(\frac{1}{50}\right)^2\)

Nên \(A< \frac{1}{50}=0,02\)

Chúc bạn học tốt ( -_- )

Vì bạn bảo gợi ý nên gợi ý thui không giải:
1) Bạn thấy con A có tử 6- 8⁴⁰ là âm mà 5²⁰+1 là dương =>tử âm,mẫu dương=> p/s đó là âm
Còn phần B thì trên tử 3-5⁴⁰ và 2-7²⁰ là 2 số âm,mà tử âm,mẫu âm thì phân số đó dương
Số dương như thế nào với số âm thì tự làm...(gợi ý mà)
2) Phần b giống phần a nhé!
 

Cảm ơn bạn Phùng Quang Thịnh :D
Còn bài 3 mình đã thử giải nhưng chưa ra , vì mẫu số là các số tự nhiên không liền kề nhau nên không rút gọn được .

an nguyen cho tôi một chút thời gian để làm bài 3 nhé(chiều tối tôi sẽ có đáp án,vì giờ tôi bận nhé :) )