b: góc HID+góc HKD=180 độ

=>HIDK nội tiếp

=>góc HIK=góc HDK

=>góc HIK=góc HCB

=>góc HIK=góc HEF

=>EF//IK

a) +) Ta có \(\Delta ABE\) vuông tại E và \(\Delta ACF\) vuông tại F ( vì BE và CF là hai đường cao của ∆ABC)  

\(\Rightarrow cosBAC=\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\Rightarrow AE.AC=AF.AB\)

   +) \(\Delta ADC\) vuông tại D có DK là đường cao  \(\Rightarrow\)AD² = AK.AC

 Lại có \(\Delta ADB\) vuông tại D có DI là đường cao \(\Rightarrow\) AD² = AI.AB

 Suy ra: AI.AB = AK. AC 

b) Ta có \(\Delta ADB\) vuông tại D \(\Rightarrow sinABC=\frac{AD}{AB}\) 

Lại có \(\Delta CBE\) vuông tại E và \(\Delta AHE\) vuông tại E

 mà \(\widehat{AHE}=\widehat{C}\)( cùng bù \(\widehat{DHE}\)) \(\Rightarrow sinABC=\frac{BE}{BC}=\frac{AE}{AH}\)

 \(\Rightarrow\frac{cosBAC}{sinABC.sinACB}=\frac{AE}{AB}:\left(\frac{AD}{AB}.\frac{AE}{AH}\right)=\frac{AE}{AB}.\frac{AB.AH}{AD.AE}=\frac{AH}{AD}\)

Vậy\(AD.cosBAC=AH.sinABC.sinACB\left(đpcm\right)\)

tui ko biết

ê ko bt trả lời lm chi

chán

a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có 

\(\widehat{FAC}\) chung

Do đó: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC

Suy ra: \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)

ANH CS THỂ THAM KHẢO 

a , b tự lm nha ( dễ mà )

c) Do II đối xứng với HH qua BC⇒IH⊥BCBC⇒IH⊥BC mà HD⊥BC,D∈BC

⇒I⇒I đối xứng với HH qua D⇒DD⇒D là trung điểm của HIHI

Và MM là trung điểm của HKHK

⇒DM⇒DM là đường trung bình ΔHIKΔHIK

⇒DM∥IK⇒DM∥IK

⇒BC∥IK⇒BC∥IK

⇒BCKI⇒BCKI là hình thang

ΔCHIΔCHI có CDCD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

⇒ΔCHI⇒ΔCHI cân đỉnh CC

⇒CI=CH⇒CI=CH (*)

Mà tứ giác BHCKBHCK là hình bình hành ⇒CH=BK⇒CH=BK (**)

Từ (*) và (**) suy ra CI=BKCI=BK

Tứ giác BCKIBCKI là hình bình hành có 2 đường chéo CI=BKCI=BK

Suy ra BCIKBCIK là hình thang cân.

Tứ giác HGKCHGKC có GK∥HCGK∥HC (do BHCKBHCK là hình bình hành)

⇒HGKC⇒HGKC là hình thang có đáy là GK∥HCGK∥HC

a) Xét \(\Delta EBC\)có \(\hept{\begin{cases}BE\perp AC\\DM\perp AC\end{cases}\Rightarrow}\)DM//EB => \(\frac{MC}{CE}=\frac{CD}{CB}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta\)CFB có: \(\hept{\begin{cases}ND\perp FC\\BF\perp FC\end{cases}\Rightarrow}\)ND//BF => \(\frac{NC}{FC}=\frac{CD}{CB}\left(2\right)\)

Từ (1)(2) => \(\frac{MC}{CE}=\frac{NC}{FC}\Rightarrow MC\cdot FC=CE\cdot NC\left(đpcm\right)\)

b) Xét tam giác FBC có:\(\hept{\begin{cases}QD\perp FB\\FC\perp FB\end{cases}\Rightarrow}\)QD//FC => \(\frac{QF}{FB}=\frac{DC}{BD}\)

mà \(\frac{DC}{BD}=\frac{MC}{CE}=\frac{NC}{FC}\Rightarrow\frac{QF}{FB}=\frac{MC}{CE}=\frac{NC}{FC}\)hay \(\frac{QF}{FB}=\frac{NC}{CF}=\frac{MC}{CE}\)

=> Q,N,M thẳng hàng mà \(\frac{NC}{CF}=\frac{MC}{CE}\)=> MN//EF => QM//EF (đpcm)

c) Xét tam giác BEC có \(\hept{\begin{cases}PD\perp BE\\CE\perp BE\end{cases}}\)=> PD//EC => \(\frac{PE}{EB}=\frac{DC}{BC}\)

mà \(\frac{DC}{CB}=\frac{NK}{CF}=\frac{MC}{CE}=\frac{QF}{FB}\)

=> M,N,Q thẳng hàng (đpcm)

1: Xét tứ giác BFEC có

góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC là tứ giác nội tiếp

2: ΔADB vuông tại D có DG vuông góc AB

nên AG*AB=AD^2

ΔADC vuông tại D

mà DH là đường cao

nên AH*AC=AD^2=AG*AB

=>AH/AB=AG/AC
=>ΔAHG đồng dạng với ΔABC

=>góc AGH=góc ACB=goc AFE

=>HG//FE

FH là phân giác góc DFE => HQ=HV

Chứng minh FQ=FV => FH là trung trực QV => FH vuông góc QV => QV song song AB => góc HIQ = HAF

Mà góc HAF = HEF nên góc HIQ = HEF => HEIQ nội tiếp => HIE = 90

Chứng minh tam giác DIS = DIE => IS=IE