a) - Do p là số nguyên tố nên p là số tự nhiên.

*) Xét p=3k+1 => \(p^2+8=\left(3k+1\right)^2+8=9k^2+6k+9⋮3\) (hợp số)

*) Xét p=3k+2 => \(p^2+8=\left(3k+2\right)^2+8=9k^2+12k+12⋮3\) (hợp số)

*) Xét p=3k => k=1 do p là số nguyên tố => \(p^2+8=9+8=17\) (t/m)

Ta có: \(p^2+2=11\). Mà 11 là số nguyên tố => điều phải chứng minh.

b) (Làm tương tự bài trên)

 - Do p là số nguyên tố => p là số tự nhiên.

*) Xét p=3k+1 => \(8p^2+1=8\left(3k+1\right)^2+1=8\left(9k^2+6k+1\right)+1=3k.8\left(3k+2\right)+\left(8+1\right)⋮3\)(hợp số)

*) Xét p=3k+2 => \(8p^2+1=8\left(3k+2\right)^2+1=8\left(9k^2+12k+4\right)+1=3k.8\left(3k+4\right)+\left(32+1\right)⋮3\) (hợp số)

*) Xét p=3k => k=1 Do p là số nguyên tố => \(8p^2+1=8.9+1=73\)(t/m)

Ta có : \(2p+1=7\). Mà 7 là số nguyên tố => Điều phải chứng minh.

làm ơn giải hộ mình nhanh lên

a ) Với p = 3 , p là số nguyên tố và \(p^2+8=3^2+8=17\)cũng là số nguyên tố => p = 3 thỏa mãn đề bài 

Xét với p > 3 , ta biểu diễn : 

\(p^2+8=\left(p^2-1\right)+9=\left(p-1\right)\left(p+1\right)+9\)

Xét ba số nguyên liên tiếp : p - 1 , p , p + 1 ắt sẽ có một số chia hết cho 3.

Vì p là số nguyên tố , p > 3 nên p không chia hết cho 3. Vậy một trong hai số p - 1 , p + 1 chia hết cho 3. Suy ra tích (p - 1)(p + 1) chia hết cho 3. Lại có 9 chia hết cho 3

\(\Rightarrow p^2+8\)chia hết cho 3. (vô lí vì  \(p^2+8\)là số nguyên tố lớn hơn 3) 

Vậy p = 3 \(\Rightarrow p^2+2=3^2+2=11\)là số nguyên tố (đpcm)

b) Với p = 3 thì \(8p^2+1\)là số nguyên tố.

Với p là số nguyên tố, p > 3 : 

Ta có : \(8p^2+1=8\left(p^2-1\right)+9=8\left(p-1\right)\left(p+1\right)+9\)

Xét ba số nguyên liên tiếp : p - 1 , p , p + 1 , ắt sẽ tìm được một số chia hết cho 3

Vì p là số nguyên tố, p > 3 , nên p không chia hết cho 3. Vậy một trong hai số p - 1 , p + 1 chia hết cho 3 

Suy ra tích (p - 1)(p + 1) chia hết cho 3 . Lại có 9 chia hết cho 3

=> 8p² + 1 chia hết cho 3 (vô lí vì 8p² + 1 là số nguyên tố lớn hơn 3)

Vậy p = 3 . Suy ra 2p + 1 = 7 là số nguyên tố. (đpcm)

Lời giải:

Nếu $p\vdots 3$ thì do $p$ là snt nên $p=3$

$\Rightarrow p+2=5; p+4=7$ đều là snt (thỏa mãn). 

Khi đó: $p^3+2=3^3+2=29$ là snt (đpcm)

Nếu $p$ chia $3$ dư $1$. Đặt $p=3k+1$ với $k$ tự nhiên.

$\Rightarrow p+2=3k+1+2=3k+3=3(k+1)\vdots 3$. Mà $p+2>3$ với mọi $p$ nguyên tố nên $p+2$ không thể là snt (trái với yêu cầu đề - loại) 

Nếu $p$ chia $3$ dư $2$. Đặt $p=3k+2$ với $k$ tự nhiên.

$\Rightarrow p+4=3k+2+4=3k+6=3(k+2)\vdots 3$. Mà $p+4>3$ với mọi $p$ nguyên tố nên $p+4$ không thể là snt (trái với yêu cầu đề - loại) 

Vậy ta có đpcm.

Gọi: \(A=n^2+4\)và \(B=n^2+16\)

Ta có: \(A=n^2+4=n^2-1+5=\left(n-1\right)\left(n+1\right)+5\)(1)

và \(B=n^2+16=n^2-4+20=\left(n-2\right)\left(n+2\right)+20\)(2)

Vì A;B là số nguyên tố nên từ (1) và (2) suy ra: \(\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)và \(\left(n-2\right)\left(n+2\right)\)không chia hết cho 5. 

Mặt khác, tích của 5 số tự nhiên liên tiếp: \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)phải chia hết cho 5. 

Suy ra n chia hết cho 5. ĐPCM.

a,

Gọi \(d=ƯC\left(n+1;2n+3\right)\) với \(d\in N\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2n+3-2\left(n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow n+1\) và \(2n+3\) nguyên tố cùng nhau với mọi \(n\in N\)

Các câu sau em biến đổi tương tự