Cho \(x^2+y^2=2\) (x;y > 0). Biểu thức \(A=xy^2\) đạt giá trị lớn nhất tại \(x=x_0\) và \(y=y_0\)
Biết \(x_0+y_0^2=\frac{a+\sqrt{b}}{c}\) với a,b,c là các số nguyên dương và \(\frac{a}{c}\) là phân số tối giản, tính \(P=a^2+b^2+c^2\)
Những câu hỏi liên quan
1a. Cho x^2+y^2=2.CMR 2(x+1)(y+1) chia hết cho (x+y)(x+y+2)
b. Cho (x+y)(x+z)+(y+z)(y+x)=2(z+x)(z+y). CMR z^2=(x^2+y^2):2
a, cho x-y=2 tinh <x-1>^2+<y+1>^2=2xy
b, cho x-1/2=ytinh x^3-8y^3=6xy
c,cho x^2-y=2va xy =2 tinh x^2+y^2
I, a Cho x^2+y^2=2 CMR 2(x+1)(y+1) chia hết cho (x+y)(x+y+2).
b Cho (x+y)(x+z)+(y+z)(y+x)=2(z+x)(z+y). CMR z^2= (x^2+y^2) : 2
Ai làm được mk hứa sẽ tick. Cảm ơn trước nha!!!!
Cho x,y >0.Chứng minh x^2/x^2+(x+y)^2+y^2/y^2+(x+y)^2<1/2
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương:
$x^2+(x+y)^2\geq 2x(x+y)\Rightarrow \frac{x^2}{x^2+(x+y)^2}\leq \frac{x^2}{2x(x+y)}=\frac{x}{2(x+y)}$
$y^2+(x+y)^2\geq 2y(x+y)\Rightarrow \frac{y^2}{y^2+(x+y)^2}\leq \frac{y^2}{2y(x+y)}=\frac{y}{2(x+y)}$
Cộng theo vế:
$\frac{x^2}{x^2+(x+y)^2}+\frac{y^2}{y^2+(x+y)^2}\leq \frac{x+y}{2(x+y)}=\frac{1}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $x^2=(x+y)^2=y^2$ (điều này vô lý với $x,y>0$)
Do đó dấu "=" không xảy ra, hay $\frac{x^2}{x^2+(x+y)^2}+\frac{y^2}{y^2+(x+y)^2}<\frac{1}{2}$ (đpcm)
Đúng 2
Bình luận (0)
1.Cho x^2+ 4x+1 = 0
Tính A= ( x + 1/x )^2 + (x^2 + 1/x^2 )^2 + ( x^3+ 1/x^3 )^2
2.Cho các số thực x, y khác 0 sao cho x+ 1/y và y+ 1/x là những số nguyên . CMR x^3y^3 + 1/x^3y^3 là số nguyên.
3.Cho x,y,z khác 0 tm x(y+z)^2+y(z+x)^2+z(x+y)^2=4xyz
e) Cho x^2+y^2+2 =2.(x+y) cmr:x=y=1
f) Cho x^2+y^2+z^2=3 và x+y+z=3 cmr:x=y=z=1
f: x+y+z=3
=>x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)=9
=>2(xy+yz+xz)=6
=>xy+yz+xz=3
mà x+y+z=3
nên x=y=z=1
e: x^2+y^2+2=2(x+y)
=>(x+y)^2-2xy+2-2(x+y)=0
=>(x+y)(x+y-2)-2(xy-1)=0
=>x=y=1
Đúng 0
Bình luận (0)
cho x+y-1=0. tính B=x^2(x+y)-y^2(x+y)+y^2-x^2+2(x+y)-3
Ta có: x+y-1=0
nên x+y=1
Thay x+y=1 vào biểu thức \(B=x^2\left(x+y\right)-y^2\left(x+y\right)+y^2-x^2+2\left(x+y\right)-3\), ta được:
\(B=x^2-y^2+y^2-x^2+2-3\)
\(\Leftrightarrow B=-1\)
Vậy: Khi x+y-1=0 thì B=-1
Đúng 1
Bình luận (0)
Ta có: x+y-1=0
nên x+y=1
Thay x+y=1 vào biểu thức B=x2(x+y)−y2(x+y)+y2−x2+2(x+y)−3B=x2(x+y)−y2(x+y)+y2−x2+2(x+y)−3, ta được:
B=x2−y2+y2−x2+2−3B=x2−y2+y2−x2+2−3
⇔B=−1
Vậy: Khi x+y-1=0 thì B=-1
Đúng 1
Bình luận (0)
1. Cho x >= 0;y >= 0 và x+y=1. Tìm Min, Max của A=x^2+y^2
2. Cho 2 số thực x,y thỏa mãn x^2+y^2 <= x+y. CMR x+y <= 2
1) \(A=x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy\)
Do \(x+y=1\)nên \(A=1-2xy\)
Xài Cosi ngược: \(2xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)\(\Rightarrow A=1-2xy\ge1-\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{2}\). Vậy Min A = 1/2. Đẳng thức xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{2}\).
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho hàm số y= 2+ x, vẽ đồ thị hàm số của y khi x = -2,-1,0,1,2,3
Cho hàm số y = 2 - x, vẽ đồ thị hàm số của y khi x = -2,-1,0,1,2,3
Cho hàm số y = x - 2, vẽ đồ thị hàm số của y khi x = -2,-1,0,1,2,3
Cho hàm số y = x + 2, vẽ đồ thị hàm số của y khi x = -2,-1,0,1,2,3
tính. x^2\(y^2+z^2-x^2)+y^2\(z^2+x^2-y^2)+z^2\(x^2+y^2-z^2) cho x+y+z=0, x,y,zkhac 0
\(x^2\left(y^2+z^2-x^2\right)+y^2\left(z^2+x^2-y^2\right)+z^2\left(x^2+y^{ 2}-z^2\right)\)
\(=x^2\left[\left(y+z\right)^2-x^2-2yz\right]+y^2\left[\left(z+x\right)^2-y^2-2zx\right]+z^2\left[\left(x+y\right)^2-z^2-2xy\right]\)
\(=x^2\left[\left(y+z-x\right)\left(y+z+x\right)-2xy\right]+y^2\left[\left(z+x-y\right)\left(z+x+y\right)-2zx\right]\)
\(+z^2\left[\left(x+y-z\right)\left(x+y+z\right)-2xy\right]\)
\(=x^2\left[\left(y+z-x\right).0-2yz\right]+y^2\left[\left(z+x-y\right).0-2zx\right]+z^2\left[\left(x+y-z\right).0-2xy\right]\)
\(=x^2\left(-2yz\right)+y^2\left(-2zx\right)+z^2\left(-2xy\right)\)\(=-2x^2yz-2xy^2z-2xyz^2\)
\(=-2xyz\left(x+y+z\right)=-2xyz.0=0\)
Đúng 0
Bình luận (0)