Giải thích các bước giải:

Xét tam gíac ABC có các đường trung tuyến AM, BD, CE. Đặt BC= a; AC= c. Theo bài ra ta có: AM< b+c2b+c2

CMTT: BD< a+c2a+c2 ; CE < a+b2a+b2

=>AM+BD+CE < a+b+c

Ta có BD+CE> 3232 a

CMTT ta có:AM+CE > 3232  b

AM+BD>3232  c

=>2(AM+BD+CE) > 3232 (a+b+c)

Do đó : AM+BD+CE > 3434 (a+b+c)

Xét \(\Delta ABC\) có các trung tuyến AM,BD,CE.Đặt BD=a,AC=b,AB=c.Theo đề bài ra,ta có \(AM< \frac{b+c}{2}.\)

Tương tự \(BM< \frac{a+c}{2},CE< \frac{a+b}{2}.\)

\(\Rightarrow AM+BD+CE< a+b+c.\)

Ta có : 

\(BD+CE>\frac{3}{2}a.\)

Tương tự :

\(AM+BD>\frac{3}{2}c\)

\(\Rightarrow2\left(AM+BD+CE\right)>\frac{3}{2}\left(a+b+c\right).\)

Do đó \(AM+BD+CE>\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)

P/s:Hình xấu quá,cố vẽ cho đẹp,vẽ = máy tính ko quen T^T

Bạn tự vẽ hình nha

Xét tg ABC có các đường trung tuyến AM, BD, CE. Đặt BC= a; AC= c. Theo bài ra ta có: AM< \(\frac{b+c}{2}\) 

CMTT: BD< \(\frac{a+c}{2}\) ; CE < \(\frac{a+b}{2}\) 

Suy ra AM+BD+CE < a+b+c

Ta có BD+CE> \(\frac{3}{2}\) a

CMTT ta có:AM+CE > \(\frac{3}{2}\) b

                    AM+BD> \(\frac{3}{2}\) c

Suy ra 2(AM+BD+CE) > \(\frac{3}{2}\) ( a+c+c)

Do đó : AM+BD+CE > \(\frac{3}{4}\) ( a+b+c )

*) Chứng minh: AM + BD + CE < AB + BC + CA

+) Trên tia đối của tia MA lấy K sao cho MÃ = MK

Khi đó, dễ dàng => tam giác BMK = CMA (c - g - c) => BK = AC

+) Xét tam giác ABK có: AK < AB +BK mà AK = 2.AM ; BK = AC

=> 2.AM < AB + AC

Tương tự, ta có: 2.BD < AB + BC

2.CE < AC + BC

Cộng từng vế của

=> 2.(AM + BD + CE) < 2. (AB + BC + CA)

=> ÂM + BD + CÉ < AB + BC + CA

*) Chứng minh:

(AB + BC + CA) < AM + BD + CE

+) Xét tam giác AGB có: AG + GB > AB

mà AG = .AM ; BG = .BD (do G là trong tâm tam giác ABC)

.(AM + BD) > AB

+) Tương tự, ta có: 2/3

(AM + CE) > AC; 2/3

(BD + CE) > BC

=> 2/3.2. (AM + BD + CE) > AB + BC + CA

​<=> (ÂM + BD + CE) > AB + BC + CA

=> AM + BD + CE > (AB + BC + CA)

=> ĐPCM 

Vẽ tam giác ABC với các trung tuyến AD, BE, CF, trọng tâm (giao điểm 3 trung tuyến) là G.

Gọi M là điểm đối xứng của A qua D ---> D vừa là trung điểm AM, vừa trung điểm BC ---> ABMC là hình bình hành

---> BM=AC

Xét tam giác ABM---> \(AD< AB+BM\Leftrightarrow2AM< AB+AC\)(BĐT tam giác)

Hoàn toàn tương tự \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2BE< BC+BA\\2CF< CA+CB\end{cases}}\)

Cộng các BĐT vế theo vế \(\Rightarrow2\left(AM+BE+CF\right)< 2\left(AB+BC+CA\right)\Rightarrow AM+BE+CF< AB+BC+CA\)--->ĐPCM

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(AG=\frac{2}{3}AM,BG=\frac{2}{3}BE,CG=\frac{2}{3}CF\)

Xét tam giác AGB \(\Rightarrow AB< AG+BG=\frac{2}{3}\left(AM+BE\right)\)(BĐT tam giác)

Hoàn toàn tương tự \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}BC< \frac{2}{3}\left(BE+CF\right)\\CA< \frac{2}{3}\left(CF+AM\right)\end{cases}}\)

Cộng các BĐT vế theo vế \(\Rightarrow AB+BC+CA< 2.\frac{2}{3}\left(AM+BE+CF\right)\)

\(\Rightarrow\frac{3}{4}\left(AB+BC+CA\right)< AM+BE+CF\)--->ĐPCM