hãy chứng tỏ mọi phân số có dạng :
\(\frac{n+1}{3n+2}\) , \(\frac{n+1}{2n+3}\) , \(\frac{2n+3}{3n+5}\)
đều là phân số tối giản
Chứng tỏ rằng mọi phân số có dạng :
\(\dfrac{2n+3}{3n+5}\) = ( n ∈ N ) đều là phân số tối giản .
Giải:
Gọi ƯCLN (2n+3;3n+5)=d
Ta có:
2n+3:d =>3. (2n+3):d
3n+5:d=> 2. (3n+5):d
=> [3. (2n+3) - 2.(3n+5)]:d
=>(6n+9 - 6n-10): d
=> -1:d
=> d={1,-1}
Tick mình nha
Chứng tỏ rằng mọi phân số có dạng sau đều là phân số tối giản:
a)n+1/n+2
b)2n+3/3n+5
Gọi ƯCLN(n + 1 ; n + 2) = d\(\left(d\inℕ\right)\)
=> \(\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\n+2⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(n+2\right)-\left(n+1\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
=> n + 1 ; n + 2 là 2 số nguyên tố cùng nhau
=> \(\frac{n+1}{n+2}\) là phân số tối giản
b) Gọi ƯCLN(2n + 3 ; 3n + 5) = d (d \(\inℕ\))
=> \(\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\3n+5⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(2n+3\right)⋮d\\2\left(3n+5\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}6n+9⋮d\\6n+10⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(6n+10\right)-\left(6n+9\right)⋮d\)
=> \(1⋮d\Rightarrow d=1\)
=> 2n + 3 ; 3n + 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau
=> \(\frac{2n+3}{3n+5}\) là phân số tối giản
a) Gọi ƯC( n + 1 ; n + 2 ) = d
=> n + 2 ⋮ d và n + 1⋮ d
=> n + 2 - ( n - 1 ) ⋮ d
=> 1 ⋮ d => d = 1
=> ƯCLN( n + 1 ; n + 2 ) = 1
hay n+1/n+2 tối giản ( đpcm )
b) Gọi ƯC( 2n + 3 ; 3n + 5 ) = d
=> 2n + 3 ⋮ d và 3n + 5 ⋮ d
=> 6n + 9 ⋮ d và 6n + 10 ⋮ d
=> 6n + 10 - ( 6n + 9 ) ⋮ d
=> 1 ⋮ d => d = 1
=> ƯCLN( 2n + 3 ; 3n + 5 ) = 1
hay 2n+3/3n+5 tối giản ( đpcm )
Chứng minh rằng mọi phân số có dạng\(\frac{2n+3}{3n+5}\)(n thuộc N) đều là phân số tối giản
gọi ƯCLN(2n+3;3n+5)=d
2n+3 chia hết cho d
=>6n+9 chia hết cho d
3n+5 chia hết cho d
=>6n+10 chia hết cho d
=>1 chia hết cho d
=>d=1
\(\Rightarrow\frac{2n+3}{3n+5}\)tối giản
Gọi ƯCLN(2n+3; 3n+5) là d. Ta có:
2n+3 chia hết cho d => 6n+9 chia hết cho d
3n+5 chia hết cho d =? 6n+10 chia hết cho d
=> 6n+10-(6n+9) chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d
=> d thuộc Ư(1)
=> d = 1
=> ƯCLN(2n+3; 3n+5) = 1
=> \(\frac{2n+3}{3n+5}\)tối giản (đpcm)
Bài 1:
Chứng tỏ rằng mọi phân số có dạng n + 1 / 2n + 3 (n thuộc N) đều là phân số tối giản
Bài 2:
Chứng tỏ rằng mọi phân số có dạng 2n + 3 / 3n + 5 (n thuộc N) đều là phân số tối giản
Bài 3:
Cho góc mOx , tia Om nằm giữa hai tia Ox và Oy. Hãy chứng tỏ rằng:
a) Các góc mOx và mOy là các góc nhọn
b) Tia Ox không nằm giữa hai tia Om và Oy
Bài 1 : Đặt \(d=Ư\left(n+1;2n+3\right)\)
Từ đó \(\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Leftrightarrow}}2n+3-\left(2n+2\right)⋮d\Leftrightarrow1⋮d\Leftrightarrow d=1\)
Vậy mọi phân số dạng \(\frac{n+1}{2n+3}\left(n\inℕ\right)\) đều là phân số tối giản
Bài 2 : Đặt \(d=Ư\left(2n+3;3n+5\right)\)
Từ đó \(\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\3n+5⋮d\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}6n+9⋮d\\6n+10⋮d\end{cases}\Leftrightarrow}6n+10-\left(6n-9\right)⋮d\Leftrightarrow1⋮d\Leftrightarrow d=1}\)
Vậy mọi phân số dạng \(\frac{2n+3}{3n+5}\left(n\inℕ\right)\) đều là phân số tối giản.
Bài 1:
Chứng tỏ rằng mọi phân số có dạng n + 1 / 2n + 3 (n thuộc N) đều là phân số tối giản
Bài 2:
Chứng tỏ rằng mọi phân số có dạng 2n + 3 / 3n + 5 (n thuộc N) đều là phân số tối giản
Bài 3:
Cho góc mOx , tia Om nằm giữa hai tia Ox và Oy. Hãy chứng tỏ rằng:
a) Các góc mOx và mOy là các góc nhọn
b) Tia Ox không nằm giữa hai tia Om và Oy
Chứng tỏ rằng các phân số sau tối giản với mọi n tự nhiên:
\(\frac{n+1}{2n+3}\) \(\frac{2n+1}{3n+2}\)\(\frac{n}{n+1}\)\(\frac{2n+3}{4n+8}\)
\(\frac{n+1}{2n+3}\)
Gọi ƯCLN(n + 1, 2n + 3) là a
Ta có:
n + 1\(⋮\)a
\(\Rightarrow\)2(n + 1)\(⋮\)a
\(\Leftrightarrow\)2n + 2\(⋮\)a
2n + 3\(⋮\)a
\(\Rightarrow\)(2n + 3) - (2n + 2)\(⋮\)a
\(\Rightarrow\)1\(⋮\)a
\(\Rightarrow\)a = 1
\(\frac{2n+1}{3n+2}\)
Gọi ƯCLN(2n + 1, 3n + 2) là b
Ta có:
2n + 1\(⋮\)b
\(\Rightarrow\)3.(2n + 1)\(⋮\)b
\(\Leftrightarrow\)6n + 3\(⋮\)b (1)
3n + 2\(⋮\)b
\(\Rightarrow\)2.(3n + 2)\(⋮\)b
\(\Leftrightarrow\)6n + 4\(⋮\)b (2)
Từ (1), (2) ta có:
(6n + 4) - (6n + 3)\(⋮\)b
\(\Leftrightarrow\)1\(⋮\)b
\(\Rightarrow\)b = 1
Vậy ƯCLN(2n + 1, 3n + 2) là 1
\(\Rightarrow\)Phân số tối giản
a,Chứng tỏ rằng các phân số sau tối giản, với n là số tự nhiên: \(\frac{n-1}{3-2n}\); \(\frac{3n+7}{5n+12}\)
b,Tìm các số nguyên n để các phân số sau nhận giá trị nguyên: \(\frac{2n+5}{n-1}\); \(\frac{2n+1}{3n-2}\)
a) *) \(\frac{n-1}{3-2n}\)
Gọi d là ƯCLN (n-1;3-2n) (d\(\inℕ\))
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n-1⋮d\\3-2n⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n-2⋮d\\3-2n⋮d\end{cases}\Leftrightarrow}\left(2n-2\right)+\left(3-2n\right)⋮d}\)
\(\Leftrightarrow1⋮d\left(d\inℕ\right)\Rightarrow d=1\)
=> ƯCLN (n-1;3-2n)=1
=> \(\frac{n-1}{3-2n}\)tối giản với n là số tự nhiên
*) \(\frac{3n+7}{5n+12}\)
Gọi d là ƯCLN (3n+7;5n+12) \(\left(d\inℕ\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3n+7⋮d\\5n+12⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}15n+35⋮d\\15n+36⋮d\end{cases}\Leftrightarrow}\left(15n+36\right)-\left(15n+35\right)⋮d}\)
\(\Leftrightarrow1⋮d\left(d\inℕ\right)\)
\(\Rightarrow d=1\)
=> ƯCLN (3n+7;5n+12)=1
=> \(\frac{3n+7}{5n+12}\) tối giản với n là số tự nhiên
b) *) \(\frac{2n+5}{n-1}\left(n\ne1\right)\)
\(=\frac{2\left(n-1\right)+7}{n-1}=2+\frac{7}{n-1}\)
Để \(\frac{2n+5}{n-1}\) nhận giá trị nguyên => \(2+\frac{7}{n-1}\) nhận giá trị nguyên
2 nguyên => \(\frac{7}{n-1}\)nguyên
=> 7 chia hết cho n-1
n nguyên => n-1 nguyên => n-1\(\inƯ\left(7\right)=\left\{-7;-1;1;7\right\}\)
Ta có bảng
n-1 | -7 | -1 | 1 | 7 |
n | -6 | 0 | 2 | 8 |
vậy n={-6;0;2;8} thì \(\frac{2n+5}{n-1}\) nhận giá trị nguyên
chứng tỏ phân số\(\frac{3n+2}{2n+1}\)tối giản với mọi số tự nhiên n.
gọi d=ƯCLN(3n+2;2n+1)
lập luận d = 1
kết luận\(\frac{3n+1}{2n+1}\)tối giản
Gọi \(\left(3n+2;2n+1\right)=d\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3n+2⋮d\\2n+1⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}6n+4⋮d\\6n+3⋮d\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\left(6n+4\right)-\left(6n+3\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
\(\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\)
\(\Rightarrow\frac{3n+2}{2n+1}\)là phân số tối giản với mọi STN n
Gọi d là ƯCLN\((3n+2,2n+1)\) \((d\inℕ^∗)\)
Ta có : \((3n+2)⋮d,(2n+1)⋮d\)
\(\Rightarrow\left[2(3n+2)\right]⋮d,\left[3(2n+1)\right]⋮d\)
\(\Rightarrow\left[6n+4\right]⋮d.\left[6n+3\right]⋮d\)
\(\Rightarrow\left[6n+4\right]-\left[6n+3\right]⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\Leftrightarrow d\in\left\{1;-1\right\}\)
Mà \(d\inℕ^∗\)nên d = 1
Vậy : \(\frac{3n+2}{2n+1}\)là phân số tối giản \(\forall n\inℕ\)
Bài 1 : Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n, phân số \(\frac{3n-5}{3-2n}\)là phân số tối giản.
Bài 2 : Cho n \(\in\)N*. Biết n - 10, n+10, n+ 60 đều là các số nguyên tố. Chứng minh rằng n + 90 cũng là số nguyên tố.
Gọi (n^3+2n ; n^4+3n^2+1) là d => n^3+2n chia hết cho d và n^4+3n^2+1 chia hết cho d. =>n(n^3+2n) chia hết cho d hay n^4+2n^2 chia hết cho d. do đó (n^4+3n^2+1) - (n^4+2n^2) chia hết chod hay n^2 +1 chia hết cho d (1). => (n^2+1)(n^2+1) chia hết cho d hay n^4+2n^2+1 chia hết cho d. => (n^4+3n^2+1) ...
Bài 1 :
Ta có :
\(\frac{3n-5}{3-2n}=\frac{3n-5}{-\left(2n-3\right)}\)
Gọi \(ƯCLN\left(3n-5;3-2n\right)=d\)
\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}3n-5⋮d\\-\left(2n-3\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(3n-5\right)⋮d\\-3\left(2n-3\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}6n-10⋮d\\-6n+9⋮d\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\)\(\left(6n-10\right)+\left(-6n+9\right)⋮d\)
\(\Rightarrow\)\(\left(6n-6n\right)\left(-10+9\right)⋮d\)
\(\Rightarrow\)\(\left(-1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow\)\(d\inƯ\left(1\right)\)
Mà \(Ư\left(1\right)=\left\{1;-1\right\}\)
\(\Rightarrow\)\(ƯCLN\left(3n-5;3-2n\right)=\left\{1;-1\right\}\)
Vậy \(\frac{3n-5}{3-2n}\) là phân số tối giản với mọi số nguyên n
Chúc bạn học tốt ~