Đề: Cho  \(a+b+c=1\) và  \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)  .  Chứng minh:  \(a^2+b^2+c^2=1\)

                                                                 -----------------------------------------

Từ   \(a+b+c=1\)

\(\Rightarrow\)  \(\left(a+b+c\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow\)  \(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=1\)  \(\left(1\right)\)

Mặt khác, ta lại có:   \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)  \(\Leftrightarrow\)  \(\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\)  \(\Leftrightarrow\)  \(ab+bc+ca=0\)  \(\left(2\right)\)

Từ  \(\left(1\right)\)  và  \(\left(2\right)\), suy ra  \(a^2+b^2+c^2=1\)   \(\left(đpcm\right)\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)

\(\left(a+b+c\right)^2=1\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2.\left(ab+bc+ca\right)=1\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2.0=1\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=1\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)

\(\left(a+b+c\right)^2=1\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=1\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2.0=1\)

=> dpcm

2. Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 3 số dương \(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a}\)ta có

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}\)\(=3\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c