Cho a,b là các số nguyên dương sao cho b^2+ab+a-1 chia hết cho a^2+ab+b+1. Chứng minh a=1
Cho a,b là các số nguyên dương sao cho a2+b2 chia hết cho ab-1. Chứng minh răng \(\frac{a^2+b^2}{ab-1}\)là số nguyên tố
Giả sử \(\frac{a^2+b^2}{ab-1}=k\left(k\in Z\right)\). Ta sẽ đi tìm k và chứng minh k là số nguyên tố.
Đặt \(m=a+b;n=a-b\), ta có \(\frac{a^2+b^2}{ab-1}=k\Rightarrow\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2-4}=\frac{k}{2}\)
TH1: Nếu trong a và b có một số chẵn, một số lẻ:
Khi đó k là số lẻ. Đặt \(d=\left(m^2+n^2;m^2-n^2-4\right)\Rightarrow d=\left(2m^2-4,2n^2+4\right)\)
\(\Leftrightarrow\) d | 2(m2 + n2) = 4(a2 + b2)
Mà \(\hept{\begin{cases}m^2+n^2=kd\\m^2-n^2-4=2d\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow2x^2-4=d\left(k+2\right)\Rightarrow\) d chia hết 2.
Lại có a2 + b2 là số lẻ nên d = 2 hoặc d = 4.
Thay vào hệ bên trên và giả thiết thì (a,b) = (-2;-1) hoặc (2;1). Khi đó k = 5 và nó là số nguyên tố.
TH2: Nếu cả a và b đều lẻ
\(\Rightarrow a=2k+1;b=2h+1\Rightarrow k=\frac{2\left(k^2+h^2+k+h\right)+1}{2kh+k+h}\) là số lẻ.
Tương tự như bên trên ta có d | 4(a2 + b2) = 8(2k2 + 2h2 + 2k + 2h + 1)
Và 2m2 - 4 = (k+2)d \(\Rightarrow d⋮2\Rightarrow d\in\left\{2;4;8\right\}\)
Thế vào hệ ta cũng tìm được (a;b) = (3;1) hoặc (-3;-10 và k = 5.
Vậy k luôn bằng 5 và nó là số nguyên tố.
Cho a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 2017 và ac + bd = 0. Tính giá trị biểu thức S = ab + cd.
+ Cho a, b là các số nguyên dương sao cho: a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6. Chứng minh: 4^a + a + b chia hết cho 6.
+ Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn: x + y = (x – y)√xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x + y.
...............HELP ME , PLEASE...........
Cho a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 2017 và ac + bd = 0. Tính giá trị biểu thức S = ab + cd.
+ Cho a, b là các số nguyên dương sao cho: a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6. Chứng minh: 4^a + a + b chia hết cho 6.
+ Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn: x + y = (x – y)√xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x + y.
help me
Cho a và b là những số nguyên dương thỏa mãn ab + 1 chia hết cho a2 + b2 .
Hãy chứng minh rằng: a2 + b2 / ab + 1 là bình phương của một số nguyên.
cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn: ab.(a + b)+ 2chia hết cho 3. Chứng minh :ab.(a + b) chia hết cho 9
Cho a và b là những số nguyên dương thỏa mãn ab + 1 chia hết cho a2 + b2 .
Hãy chứng minh rằng: a2 + b2 / ab + 1 là bình phương của một số nguyên.
Hóng cao nhân
Cho a và b là những số nguyên dương thỏa mãn ab + 1 chia hết cho a2 + b2 .
Hãy chứng minh rằng: a2 + b2 / ab + 1 là bình phương của một số nguyên.
Bài này đề thi IMO của hs lớp 12 sao lại hỏi ở đây
cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn a2-ab+\(\dfrac{3}{2}\)b2 chia hết cho 25. Chứng minh rằng cả a và b đều chia hết cho 5.
1)Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn \(a^2-ab+b^2\)chia hết cho 9. Chứng minh rằng cả a và b đều chia hết cho 3
2)Với câc số thực dương a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2+2abc=1\).Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(ab+bc+ca-abc\)
.
1/ \(4\left(a^2-ab+b^2\right)⋮3\)
\(\Rightarrow\left(2a-b\right)^2+3b^2⋮3\)
\(\Rightarrow\left(2a-b\right)^2⋮3\)
\(\Rightarrow2a-b⋮3\)
\(\Rightarrow\left(2a-b\right)^2⋮9\)
\(\Rightarrow3b^2⋮9\)
\(\Rightarrow b⋮3\)
\(\Rightarrow a⋮3\)
Câu 2 em nghĩ là dùng dồn biến.Câu 2 nếu làm kỹ sẽ rất dài do đó em làm khá tắt, vì vậy không thể tránh khỏi những sai sót khi quy đồng, chị tự kiểm tra lại:P
Giả sử c = min{a,b,c} suy ra \(1\ge3c^2+2c^3\Leftrightarrow0< c\le\frac{1}{2}\)
Chọn t > 0 thỏa mãn: \(2t^2+2t^2c=a^2+b^2+2abc\Leftrightarrow2t^2-\left(a^2+b^2\right)=2c\left(ab-t^2\right)\)
Giả sử \(ab>t^2\Rightarrow2t^2>a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow t^2>ab\) (trái với giả us73)
Vậy giả sử sai hay \(ab\le t^2\text{ và }a^2+b^2\ge2t^2\ge2ab\)
Đặt \(f\left(a;b;c\right)=ab+bc+ca-abc\)
Xét hiệu \(d=f\left(a;b;c\right)-f\left(t;t;c\right)\)
\(=\left(ab-t^2\right)+c\left(a+b-2t\right)-c\left(ab-t^2\right)\)
\(=\left(1-c\right)\left(ab-t^2\right)+\frac{c\left(a^2+b^2-2t^2\right)+2c\left(ab-t^2\right)}{a+b+2t}\)
\(=\left(1-c\right)\left(ab-t^2\right)+\frac{\left(2t^2-\left(a^2+b^2\right)\right)-c\left(2t^2-\left(a^2+b^2\right)\right)}{a+b+2t}\)
\(=\frac{\left(1-c\right)\left(2t^2-\left(a^2+b^2\right)\right)}{2c}+\frac{\left(2t^2-\left(a^2+b^2\right)\right)-c\left(2t^2-\left(a^2+b^2\right)\right)}{a+b+2t}\)
\(=\frac{\left(1-c\right)\left(2t^2-\left(a^2+b^2\right)\right)}{2c}+\frac{\left(2t^2-\left(a^2+b^2\right)\right)\left(1-c\right)}{a+b+2t}\)
\(=\left(1-c\right)\left(2t^2-\left(a^2+b^2\right)\right)\left[\frac{1}{2c}+\frac{1}{a+b+2t}\right]\le0\)
Do đó \(f\left(a;b;c\right)\le f\left(t;t;c\right)=t^2+2tc-t^2c\). Ta cần tìm max của f(t;t;c). Mặt khác từ cách chọn t ta thấy:
\(2t^2+c^2+2t^2c=1\Leftrightarrow t=\sqrt{\frac{1-c}{2}}\). Do đó
\(f\left(t;t;c\right)=\frac{1-c}{2}+2\sqrt{\frac{1-c}{2}}.c-\frac{\left(1-c\right)c}{2}\) với \(0< c\le\frac{1}{2}\)
Dễ thấy f(t;t;c) là hàm đồng biến với \(0< c\le\frac{1}{2}\) nên f(t;t;c) đạt max tại c = 1/2. Khi đó \(f\left(t;t;c\right)=\frac{5}{8}\)
Vậy.....