Gọi E là điểm đối xứng với A qua đường thẳng OI. Tia AI cắt (O) tại D khác A. DE giao BC tại F.

Ta thấy \(\Delta\)MIN và \(\Delta\)AIE cân tại I có ^IMN = ^IAE (Vì MN // AE vuông góc OI) => ^MIN = ^AIE => I,N,E thẳng hàng.

=> MN là đường trung bình \(\Delta\)AIE => AE = 2.MN, IE = 2.IN 

Ta có: AE // IK (Cùng vuông góc OI) => ^KIE = ^IEA = ^IAE = ^BAE - ^BAD = ^BDx - ^DBC = ^BFD = ^KFE

=> Tứ giác KEIF nội tiếp => ^KEI = ^BFI     (1)

Mặt khác: \(\Delta\)DFC ~ \(\Delta\)DCE (g.g) => DC² = DF.DE => DI² = DF.DE => \(\Delta\)DFI ~ \(\Delta\)DIE (c.g.c)

=> ^DFI = ^DIE = 2.^IAE = 2.^BFD (Vì ^IAE = ^BFD)  => ^KIE = ^BFI  (2)

Từ (1) và (2) => ^KIE = ^KEI => \(\Delta\)IKE cân tại K. Từ đó: \(\Delta\)IKE ~ \(\Delta\)AIE (g.g) => IE² = IK.AE

Dễ thấy MJ là đường trung bình \(\Delta\)AIK => IK = 2.MJ. Kết hợp với AE = 2.MN (cmt)

Suy ra: IE² = 4.MJ.MN hay AI² = 4.MJ.MN => 4.MA² = 4.MJ.MN => MA² = MJ.MN => \(\Delta\)MJA ~ \(\Delta\)MAN (c.g.c)

=> ^MJA = ^MAN. Tương tự thì ^MJI = ^MIN => ^MJA + ^MJI = ^MAN + ^MIN => ^AJI = 180⁰ - ^ANI

Lại có: H là trực tâm \(\Delta\)AIN => ^AHI = 180⁰ - ^ANI. Do đó: ^AHI = ^AJI => Tứ giác AIHJ nội tiếp

=> ^AJH + ^AIH = 180⁰ <=> ^MJA + ^MJH + 90⁰ - ^IAN = ^MJH + 90⁰ = 180⁰ => ^MJH = 90⁰ 

=> JH vuông góc MN. Mà OI cũng vuông góc MN nên JH // OI (đpcm).

a: Xét ΔOMB và ΔONA có

OM=ON

góc O chung

OB=OA

Do đó: ΔOMB=ΔONA

=>MB=NA

Xét ΔIMA và ΔINB có

góc IMA=góc INB

MA=NB

góc IAM=góc IBN

Do đó: ΔIMA=ΔINB

=>AI=BI

b: Xét ΔOIA và ΔOIB có

OI chung

IA=IB

OA=OB

Do đo: ΔOIA=ΔOIB

=>góc AOI=góc BOI

=>OI là phân giác của góc xOy

c: ΔOMN cân tại O

mà OI là đường phân giác

nen OI vuông góc với MN

Tự kẻ hình nha

a) - Vì tam giác MNP cân tại M (gt)
=> MN = MP (định nghĩa)
     góc MNP = góc MPN (dấu hiệu)
- Vì NH vuông góc với MP (gt)
=> tam giác NHP vuông tại H 
- Vì PK vuông góc với MN (gt)
=> tam giác PKN vuông tại K
- Xét tam giác vuông NHP và tam giác vuông PKN, có:
    + Chung NP
    + góc HPN = góc KNP (cmt)
=> tam giác vuông NHP = tam giác vuông PKN (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Vì tam giác vuông NHP = tam giác vuông PKN (cmt)
=> góc HNP = góc KPN (2 góc tương ứng)
=> tam giác ENP cân tại E (dấu hiệu)

c) - Vì tam giác ENP cân tại E (cmt)
=> EN = EP (định nghĩa)
- Xét tam giác MNE và tam giác MPE, có:
    + Chung ME 
    + MN = MP (cmt)
    + EN = EP (cmt)
=> tam giác MNE = tam giác MPE (ccc)
=> góc NME = góc PME (2 góc tương ứng)
=> ME là đường phân giác góc NMP (tc)

a: Xét tứ giác MNFE có MN//FE

nên MNFE là hình thang

=>\(\widehat{MNF}+\widehat{NFE}=180^0\)(1)
Xét (O) có

M,N,F,E cùng thuộc (O)

nên MNFE là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{MNF}+\widehat{MEF}=180^0\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{MEF}=\widehat{NFE}\)

Hình thang MNFE có \(\widehat{MEF}=\widehat{NFE}\)

nên MNFE là hình thang cân

b: Xét (O) có

MN,EF là các dây

MN=EF

Do đó: \(sđ\stackrel\frown{ME}=sđ\stackrel\frown{NF}\)

Xét (O) có

\(\widehat{FMN}\) là góc nội tiếp chắn cung NF

\(\widehat{MNE}\) là góc nội tiếp chắn cung ME

\(sđ\stackrel\frown{ME}=sđ\stackrel\frown{NF}\)

Do đó: \(\widehat{FMN}=\widehat{MNE}\)

=>\(\widehat{IMN}=\widehat{INM}\)

=>ΔIMN cân tại I

=>IM=IN

=>I nằm trên đường trung trực của MN(3)

Ta có: OM=ON

=>O nằm trên đường trung trực của MN(4)

Từ (3) và (4) suy ra OI là đường trung trực của MN

=>OI\(\perp\)MN

a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có

AB=AC
AH chung

Do đó: ΔAHB=ΔAHC

Ta có: ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao

nên AH là đường phân giác

b: Xét ΔAMH vuông tại M và ΔANH vuông tại N có

AH chung

\(\widehat{MAH}=\widehat{NAH}\)

Do đó: ΔAMH=ΔANH

Suy ra: AM=AN và HM=HN

=>AH là đường trung trực của MN

Bài 5:

a) Chứng minh ∆AHB = ∆AHC và AH là tia phân giác của góc BAC.

Vì ∆ABC cân tại A nên:

Xét ∆AHB và ∆AHC có:

Vậy ∆AHB = ∆AHC (c.g.c)

Suy ra:

Do đó, AH là tia phân giác của góc BAC.

b) Chứng minh AH vuông góc với MN

Xét ∆AHM và ∆AHN có:

Vậy ∆AHM = ∆AHN (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra: HM = HN

Do đó, AH là đường trung trực của MN.

Vậy AH vuông góc với MN.

c) Chứng minh P, Q, K thẳng hàng

Vì H là trung điểm của MP nên HP = HM.

Xét ∆HMP và ∆HNP có:

Vậy ∆HMP = ∆HNP (c.c.c)

Suy ra: góc MHP = góc NHP = 90 độ.

Do đó, PQ ⊥ MH và PQ ⊥ NH.

Mà AH ⊥ MN nên PQ // AH (1)

Ta lại có: K ∈ MN và AH ⊥ MN nên K ∈ PQ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: PQ đi qua điểm K.

Vậy P, Q, K thẳng hàng.

Vẽ hình hộ với