Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các kiến thức về hình học phẳng và đường thẳng.

Trước tiên, ta xác định tọa độ của điểm A. Vì AB là đường chéo của hình vuông nên ta có thể sử dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông ABD để tính độ dài cạnh của hình vuông, rồi suy ra tọa độ của điểm A.

Với AB: x-y+4=0, ta có hai điểm A thỏa mãn điều kiện này: A(x,y)=(y-4,y) và A'(x',y')=(x'+4,x'). Vì độ dài cạnh của hình vuông là xác định nên ta chỉ cần tìm được một điểm trên cạnh AB, chẳng hạn A, để suy ra tọa độ của các điểm còn lại.

Giả sử ta chọn A(y-4,y), ta có

Ta dễ dàng tính được tọa độ của M và N:

Tiếp theo, ta tính khoảng cách d giữa đường thẳng AB và điểm H. Theo công thức, ta có d(H, AB) = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2), với (A, B, C) là vector pháp tuyến của đường thẳng AB.

Vì AB: x-y+4=0 nên vector pháp tuyến của AB là (1, -1). Điểm H là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN nên ta dễ dàng tính được tọa độ của H là ((y-2)/2, (y-4)/2). Thay vào công thức tính khoảng cách ta có d(H, AB) = |y-2 + 2y-4 + 4| / sqrt(1+1) = 8sqrt(2)/2 = 4sqrt(2).

Vậy, tọa độ các đỉnh của hình vuông là:

Và tọa độ của M và N là:

Khoảng cách giữa đường thẳng AB và điểm H là 4sqrt(2).

a: Để đây là hàm số bậc nhất thì m+1<>0

=>m<>-1

b: Để hàm số đồng biến thì m+1>0

=>m>-1

Để hàm số nghịch biến thì m+1<0

=>m<-1

c: Thay x=-1/2 và y=2 vào (d), ta được:

-1/2(m+1)+m=2

=>-1/2m-1/2+m=2

=>1/2m=5/2

=>m=5

Hai đường thẳng y = kx + (m – 2) và y = (5 – k)x + (4 – m) trùng nhau khi và chỉ khi:

    k = 5 – k (1) và m – 2 = 4 – m (2)

Từ (1) suy ra k = 2,5 (thỏa mãn điều kiện k ≠ 0 và k ≠ 5)

Từ (2) suy ra m = 3

Vậy với k = 2,5 và m = 3 thì hai đường thẳng trùng nhau.

Hai đường thẳng y = kx + (m – 2) và y = (5 – k)x + (4 – m) trùng nhau khi và chỉ khi:

    k = 5 – k (1) và m – 2 = 4 – m (2)

Từ (1) suy ra k = 2,5 (thỏa mãn điều kiện k ≠ 0 và k ≠ 5)

Từ (2) suy ra m = 3

Vậy với k = 2,5 và m = 3 thì hai đường thẳng trùng nhau.

Bài 2: 

Để hai đường thẳng này trùng nhau thì

\(\left\{{}\begin{matrix}k=5-k\\m-2=4-m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2k=5\\2m=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=\dfrac{5}{2}\\m=3\end{matrix}\right.\)

a: \(y=x\left(2m-1\right)-m+3\)

Thay x=0 và y=0 vào (d), ta được:

3-m=0

=>m=3

b:

2y-x=5 nên 2y=x+5

=>y=1/2x+5/2

Để hai đường song song thì 2m-1=1/2 và -m+3<>5/2

=>2m=3/2 và -m<>-1/2

=>m=3/4

d: Thay x=2 và y=0 vào (d), ta được:

2(2m-1)-m+3=0

=>4m-2-m+3=0

=>3m+1=0

=>m=-1/3

f: Thay x=2 vào y=2x-3, ta được:

\(y=2\cdot2-3=1\)

Thay x=2 và y=1 vào (d), ta được:

2(2m-1)-m+3=1

=>4m-2-m+3=1

=>3m+1=1

=>m=0

g: Thay y=4 vào y=-x+7, ta được:

7-x=4

=>x=3

Thay x=3 và y=4 vào (d), ta được:

3(2m-1)-m+3=4

=>6m-9-m+3=4

=>5m-6=4

=>5m=10

=>m=2