Sang học 24 tìm ai tên Perfect Blue nhé t làm bên đó rồi đưa link thì lỗi ==" , tìm tên đăng nhập  springtime ấy

Chào bác Thắng

Từ \(a+b+ab=3\Rightarrow a+b=3-ab\ge3-\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+6\right)\left(a+b-2\right)\ge0\Rightarrow a+b\ge2\)

Biến đổi bài toán như sau: 

\(P=\frac{3a}{b+1}+\frac{3b}{a+1}+\frac{ab}{a+b}-a^2-b^2\le\frac{3}{2}\)

Tức là chứng minh \(\frac{3}{2}\) là GTLN của \(P\)

\(P=\frac{3\left(a^2+b^2\right)+3\left(a+b\right)}{ab+a+b+1}+\frac{3-a-b}{a+b}-\left(a+b\right)^2++2\left(3-a-b\right)\)

\(=\frac{3}{4}\left[3\left(a+b\right)^2-6\left(3-a-b\right)+3\left(a+b\right)\right]\)

\(+\frac{3}{a+b}-1-\left(a+b\right)^2+6-2\left(a+b\right)\)

Khảo sat đồ thì trên \(a+b\ge2\) tìm tìm được \(P_{Max}=\frac{3}{2}\)

P/s:giờ mk đi ngủ, mệt r` chỗ nào khó hiểu mai hỏi :D

ta có: \(VT=\frac{a\left(a+b+ab\right)}{b+1}+\frac{b\left(a+b+ab\right)}{a+1}+\frac{ab}{a+b}\)

\(=a^2+b^2+\frac{ab}{a+b}+\frac{ab}{a+1}+\frac{ab}{b+1}\)

cần cm \(\frac{ab}{a+b}+\frac{ab}{a+1}+\frac{ab}{b+1}\le\frac{3}{2}\)

theo giả thiết \(4=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\le\frac{1}{4}\left(a+b+2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\)

ta có: \(\frac{ab}{a+b}=\frac{ab+a+b}{a+b}-1=\frac{3}{a+b}\le\frac{3}{2}-1\)(*)

\(\frac{ab}{a+1}+\frac{ab}{b+1}\le\frac{1}{4}\left(b+ab\right)+\frac{1}{4}\left(a+ab\right)=\frac{1}{4}\left(3+ab\right)\)(**)

giờ cần tìm max ab.để ý rằng \(ab=ab+a+b-\left(a+b\right)=3-\left(a+b\right)\le3-2=1\)

khi đó \(\frac{ab}{a+b}+\frac{ab}{a+1}+\frac{ab}{b+1}\le\frac{3}{2}-1+\frac{1}{4}\left(3+1\right)=\frac{3}{2}\)(đpcm)

dấu = xảy ra khi a=b=1

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}\)

\(\le\sqrt{\left(a+b\right)\left(3a+b+3b+a\right)}\)

\(=\sqrt{4\left(a+b\right)^2}=2\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}\ge\frac{a+b}{2\left(a+b\right)}=\frac{1}{2}\)

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}=\frac{1}{2}\)

Ta có: 

\(\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}=\frac{2\left(a+b\right)}{\sqrt{4a\left(3a+b\right)}+\sqrt{4b\left(3b+a\right)}}\)

\(\ge\frac{2\left(a+b\right)}{\frac{4a+3a+b}{2}+\frac{4b+3b+a}{2}}=\frac{2\left(a+b\right)}{4\left(a+b\right)}=\frac{1}{2}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có: 

\(\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}=\sqrt{a}\sqrt{3a+b}+\sqrt{b}\sqrt{3b+a}\)

\(\le\sqrt{\left(a+b\right)\left(3a+b+3b+a\right)}=2\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}\ge\frac{a+b}{2\left(a+b\right)}=\frac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b\)

em mới học lớp 6 thôi,bài này đối với em quá khó ,mong chị thông cảm và chúc chị học giỏi

TL :

Bất đẳng thức sai, chẳng hạn với \(a=b=10^{-4};c=0,5-a-b.\).

HT

Thưa anh, nếu \(a=b=10^{-4}\) và \(c=0,5-a-b=0,5-2.10^{-4}\),em bấm máy thì ngay cả khi chỉ có một cái 

\(\frac{1}{ab\left(a+b\right)}\)nó đã bằng \(5.10^{11}\)lớn hơn rất nhiều so với \(\frac{87}{2}\), BĐT vẫn đúng chứ ạ?

Anh xem sai chỗ nào ạ?

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có 

\(\frac{1}{ab\left(a+b\right)}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2c^2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)(1)

và \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\frac{8\left(a+b+c\right)^3}{27}\le\frac{8}{27}\)(vì \(a+b+c\le1\)) (2)

và \(a^2b^2c^2\le\frac{\left(ab+bc+ca\right)^3}{27}\)(3)

Kết hợp (2) và (3) ta có \(a^2b^2c^2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\frac{8\left(ab+bc+ca\right)^3}{27^2}\)(4)

Kết hợp (1) và (4) ta có \(\frac{1}{ab\left(a+b\right)}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\frac{8\left(ab+bc+ca\right)^3}{27^2}}}=\sqrt[3]{\frac{27.27^2}{8\left(ab+bc+ca\right)^3}}\)

\(=\frac{27}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

Từ đó \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab\left(a+b\right)}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{27}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:

\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge9\)(vì \(a+b+c\le1\))

Lại có \(\frac{1}{ab+bc+ca}\ge\frac{3}{\left(a+b+c\right)^2}\ge3\)(cũng vì \(a+b+c\le1\))

Do đó ta được 

\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab\left(a+b\right)}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{27}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2}{ab+bc+ca}+\frac{23}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

\(\ge9+\frac{23.3}{2}=\frac{87}{2}\)

Vậy BĐT được chứng minh.

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)