cho tam giác ABC , các đườn trung tuyến tương ứng AA',BB',CC' . G là trọng tâm tam giác ABC .chúng minh với mọi M bất kì ta có
\(2\overrightarrow{MA}\overrightarrow{MA'}+\overrightarrow{MB}\overrightarrow{MC}=3MG^2-\frac{AB^2+AC^2+BC^2}{6}\)
Những câu hỏi liên quan
Trên các cạnh CA, CB của tam giác ABC, lấy tương ứng các điểm B', C' thoả mãn \(\frac{CB'}{B'A}=2\); \(\frac{CA'}{A'B}=3\). Gọi I là giao điểm của AA' và BB'. Chứng minh rằng với điểm M bất kì ta luôn có \(\overrightarrow{MI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{MB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{MC}\)
Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \)
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} = 3\overrightarrow {MG} \)
\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MG} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG} \)
\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MG} = 3\overrightarrow {MG} \) (đpcm) ( Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \))
Đúng 0
Bình luận (0)
Tam giác ABC có trọng tâm G . Tập hợp điểm M sao cho\(MA^2+\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MC}=0\)
Chứng minh rằng nếu G và G' lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A'B'C' thì \(3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}\) ?
Cho hai tam giác ABC và A'B'C'. Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}\) thì hai tam giác đó có cùng trọng tâm ?
Giả sử G là trọng tâm tam giác ABC, ta sẽ chứng minh G' cũng là trọng tâm tam giác A'B'C'.
G là trọng tâm tam giác ABC nên: \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).
Ta cần chứng minh: \(\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{0}\).
Theo giả thiết:
\(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}+\left(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}-\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}-\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{0}\)
Vậy G là trọng tâm tam giác A'B'C' hay hai tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm.
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC cố định và G là trọng tâm tam giác. Tập hợp điểm M thỏa left|overrightarrow{MA}+overrightarrow{MB}+overrightarrow{MC}right|a vs a0 là:A. Trung điểm BCB. Đường tròn tâm G , bán kính bằng a.C. Đường tròn tâm G , bán kính bằng dfrac{a}{3}D. Đường tròn tâm M, bán kính bằng dfrac{a}{3}
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC cố định và G là trọng tâm tam giác. Tập hợp điểm M thỏa \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=a\) vs a<0 là:
A. Trung điểm BC
B. Đường tròn tâm G , bán kính bằng a.
C. Đường tròn tâm G , bán kính bằng \(\dfrac{a}{3}\)
D. Đường tròn tâm M, bán kính bằng \(\dfrac{a}{3}\)
\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=a\) (a>0 mới đúng, độ dài ko thể nhỏ hơn 0)
\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right|=a\)
\(\Leftrightarrow3\left|\overrightarrow{MG}\right|=a\) (do \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\))
\(\Leftrightarrow MG=\dfrac{a}{3}\)
\(\Rightarrow\) Tập hợp M là đường tròn tâm G bán kính \(\dfrac{a}{3}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho ngũ giác lồi abcde. Gọi G là trọng tâm của tam giac abe, i là trung điểm cd . trên đoạn gi lấy điểm o sao cho 3og=2oi. Chứng minh rằng với mọi điểm M ta luôn có \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}=5\overrightarrow{MO}\)
Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c
a) Chứng minh rằng : overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}dfrac{b^2+c^2-a^2}{2}
b) Chứng minh rằng : overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}AI^2-dfrac{BC^2}{4} với I là trung điểm của BC
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, với M là điểm bất kì trong mặt phẳng, chứng minh hệ thức sau ;
MA^2+MB^2+MC^2GA^2+GB^2+GC^2+3MG^2
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c
a) Chứng minh rằng : \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2}\)
b) Chứng minh rằng : \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AI^2-\dfrac{BC^2}{4}\) với I là trung điểm của BC
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, với M là điểm bất kì trong mặt phẳng, chứng minh hệ thức sau ;
\(MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3MG^2\)
G,G, lần lược là trọng tatam giác ABC và A,B,C, .C/m điều kiện cần và đủ để 2 tam gics có cùng trọng tâm là \(3\overrightarrow{GG}^,=\overrightarrow{AA}^,+\overrightarrow{CC^,}+\overrightarrow{BB}^,\)
ta đx biết nếu G là trọng tâm của ABC thì
GA+GB+GC=0
AA' =AG+GG'+G'A'
BB'=BG+GG'+G'B'
CC'=CG+GG'+G'C"
==> AA'+BB'+CC'=(AG+BG+CG)+3GG'+(G'A'+G'B'+G...
ĐPCM
dk cần và đủ để 2 tam giác có cùng trọng tâm là
AA'+BB'+CC' =0
c/m:
dk cần:AA'+BB'+CC'=0 thì ABC và A'B'C' cùng trọng tâm
vì AA'+BB'+CC'=3GG'
==> GG'=0 ==> G trùng G'
dk đủ: G trùng G' thì AA'+BB'+CC'=0
AA'+BB'+CC'=3GG'
mà GG' =0 ==> AA'+BB'+CC'=0 ĐPCM
Đúng 0
Bình luận (0)
