cho đường tròn (O;R) , đường kính AB, dây cung BC=R
Tính độ dài các cạnh và giá trị các góc của tam giác ABC
Bài 1:Cho đường tròn (O;R), đường kính AB, dây cung BC=R
a, Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác ABC theo R
b, Đường thẳng qua O vuông góc với AC cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) ở D
CM: OD là đường trung trực của AC
tam giác ADC là hình gì? Vì sao?
c, CM: DC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
d, Đường thẳng OD cắt đường tròn (O) tại I. Cm: I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADC
b) Gọi OD ⊥ AC tại I ( I thuộc OD)
Có: OD⊥ AC (gt) và CB⊥ AC ( △ABC vuông tại C)
Do đó OD // CB
Xét △ABC, có:
OD// CB (cmt)
O là trung điểm AB ( AB là đường kính)
Do đó OI là đường trung bình ABC
=>I là trung điểm AC
Có: OD ⊥ AC(gt) , I trung điểm AC (cmt) (I thuộc OD)
Nên OD là đường trung trực của AC
c)
Xét t/giác AOC, có:
AO=OC (=R)
Do đó t/giác AOC cân tại O
Mà OI ⊥ AC
Nên OI cũng là đường phân giác góc AOC
=> AOI = COI
Xét t/giác ADO và t/giác DOC, có:
OD chung
AOI = COI (cmt)
OA=OC (=R)
Do đó t/giác ADO = t/giác CDO (c-g-c)
=> DAO = DCO
Mà DAO= 90
Nên DCO = 90
Có C thuộc (O) ( dây cung BC)
Nên CD là tiếp tuyến
a) Xét △ABC, có:
AB là đường kính của (O) (gt)
Do đó △ABC vuông tại C
Xét ABC (C=90), có:
+\(AC^2+CB^2=AB^2\left(Pytago\right)\) \(^{ }\Rightarrow AC^2=AB^2-CB^2\)
=> AC = \(R\sqrt{3}\)
+ \(sin_A=\dfrac{CB}{AB}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow A=30^o\)
+ A + B = 90 (△ABC vuông tại C)
30 + B = 90
B = 90 - 30
B= 60
b) Gọi OD ⊥ AC tại I ( I thuộc OD)
Có: OD⊥ AC (gt) và CB⊥ AC ( △ABC vuông tại C)
Do đó OD // CB
Xét △ABC, có:
OD// CB (cmt)
O là trung điểm AB ( AB là đường kính)
Do đó OI là đường trung bình ABC
=>I là trung điểm AC
Có: OD ⊥ AC(gt) , I trung điểm AC (cmt) (I thuộc OD)
Nên OD là đường trung trực của AC
c)
Xét t/giác AOC, có:
AO=OC (=R)
Do đó t/giác AOC cân tại O
Mà OI ⊥ AC
Nên OI cũng là đường phân giác góc AOC
=> AOI = COI
Xét t/giác ADO và t/giác DOC, có:
OD chung
AOI = COI (cmt)
OA=OC (=R)
Do đó t/giác ADO = t/giác CDO (c-g-c)
=> DAO = DCO
Mà DAO= 90
Nên DCO = 90
Có C thuộc (O) ( dây cung BC)
Nên CD là tiếp tuyến
Cho đường tròn ( o;r ) có dây cung AB có độ dài băng R căn 2.Vẽ đường kính BC.Tính sin góc ACB và số đo các góc của tam giác ABC
Xét ΔOAB có OA^2+OB^2=AB^2
và OA=OB
nên ΔOAB vuông cân tại O
Xét ΔACB có
AO là đường trung tuyến, là đường cao
Do đó: ΔACB cân tại A
=>góc ACB+góc ABC=90 độ
=>góc ACB=45 độ
sin ACB=sin45=\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O;R) có đường kính BC và cạnh AB=R. Kẻ dây AD vuông góc với BC tại H
a) Tính độ dài các cạnh AC,AH và số đo góc B, góc C
b) Chứng minh: AH.HD=HB.HC
c) Gọi M là giao điểm của AC và BD. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt BC ở I, căt AC ở N. Chứng minh: C,D,N thẳng hàng
d) Chứng minh: AI là tiếp tuyến của đường tròn (O) và tính AI theo R
a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:
\(BC^2=AB^2+AC^2\)
\(\Leftrightarrow AC^2=BC^2-AB^2=\left(2\cdot R\right)^2-R^2=3\cdot R^2\)
\(\Leftrightarrow AC=R\cdot\sqrt{3}\)(đvđd)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
\(\Leftrightarrow AH\cdot2R=R\cdot R\sqrt{3}\)
hay \(AH=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)(đvđd)
Xét ΔABC vuông tại A có
\(\sin\widehat{B}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2\cdot R}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
hay \(\widehat{ABC}=60^0\)
Xét ΔABC vuông tại A có
\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)
\(\Leftrightarrow\widehat{ACB}=90^0-\widehat{ABC}=90^0-60^0\)
hay \(\widehat{ACB}=30^0\)
Vậy: \(AC=R\cdot\sqrt{3}\) đvđd; \(AH=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)đvđd; \(\widehat{ABC}=60^0\); \(\widehat{ACB}=30^0\)
b) Xét (O) có
BC là đường kính của (O)(gt)
AD là dây của đường tròn(O)
BC⊥AD tại H(gt)
Do đó: H là trung điểm của AD(Định lí đường kính vuông góc với dây)
⇔AH=HD
hay \(AH\cdot HD=AH^2\)(1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(HB\cdot HC=AH^2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AH\cdot HD=HB\cdot HC\)(đpcm)
cho nửa đường tròn tâm o đường kính bc . tính độ dài AC và số đo góc của tam giác ABC biêt a) Dây AB=R√3 b) Dây AB=R√2
Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O, R) có BC là đường kính và AC=R. Kẻ dây AD vuông góc với BC tại H.
1) Tính độ dài các cạnh AB, AH theo R;
2) Chứng minh rằng HA.HD=HB.HC;
3) Gọi M là giao điểm của AC và BD. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt BC ở I, cắt AB ở N. Chứng minh ba điểm N, C, D thẳng hàng;
4) Chứng minh AI là tiếp tuyến của đường tròn (O, R).
1) Vì BC là đường kính của (O) nên BC=2R
Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:
\(BC^2=AB^2+AC^2\)
\(\Leftrightarrow AB^2=BC^2-AC^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)
hay \(AB=R\sqrt{3}\)(đvđd)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
\(\Leftrightarrow AH\cdot2R=R\cdot R\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{R^2\cdot\sqrt{3}}{2\cdot R}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)(đvđd)
Vậy: \(AB=R\sqrt{3}\); \(AH=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)
2) Xét (O) có
OC là một phần đường kính
AD là dây
OC⊥AD tại H
Do đó: H là trung điểm của AD(Định lí đường kính vuông góc với dây)
⇒\(HA=HD=\dfrac{AD}{2}\)
hay \(HA\cdot HD=AH^2\)(1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(HB\cdot HC=AH^2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(HA\cdot HD=HB\cdot HC\)(đpcm)
Cho đường tròn (O) và một dây BC cố định khác với đường kính. Lấy A là điểm bất kì trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn và AB < AC. Kẻ các đường cao AE, CF của tam giác ABC và đường kính AD của đường tròn (O). Gọi N là hình chiếu vuông góc của C trên AD. 1) Chứng minh bốn điểm A, E, N, C cùng thuộc một đường tròn
Cho tam giác ABC có B A C ⏜ = 60 0 , A C = b , A B = c b > c . Đường kính EF của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc với BC tại M (E thuộc cung lớn BC). Gọi I và J là chân đường vuông góc hạ từ E xuống các đường thẳng AB và AC. Gọi H và K là chân đường vuông góc hạ từ F xuống các đường thẳng AB và AC.
c) Tính độ dài cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo b, c.
c)
K ẻ B N ⊥ A C N ∈ A C . B A C ⏜ = 60 0 ⇒ A B N ⏜ = 30 0 ⇒ A N = A B 2 = c 2 ⇒ B N 2 = A B 2 − A N 2 = 3 c 2 4 ⇒ B C 2 = B N 2 + C N 2 = 3 c 2 4 + b − c 2 2 = b 2 + c 2 − b c ⇒ B C = b 2 + c 2 − b c
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Xét tam giác đều BCE có R = O E = 2 3 E M = 2 B C 3 3.2 = 1 3 . 3 b 2 + c 2 − b c
cho đường tròn O đường kính AA'=2R.một dây cung BC vuông góc bán kính OA' tại trung điểm H của OA' a)chứng minh rằng tam giác OBA' và tam giác ABC là các tam giác đều.Tính cạnh tam giác ABC b)đường BO cắt đường tròn O tại D đường DH cắt đường tròn tại M.Tính DH;DM c)tính diện tích tam giác HMC
a:
góc ABA'=góc ACA'=1/2*180=90 độ
Xét ΔBOA' có
BH vừa là đường cao, vừa là trung tuyến
=>ΔBOA' cân tại B
mà OB=OA'
nên ΔBOA' đều
=>góc A'BH=30 độ
=>góc ABC=60 độ
Xét ΔACB có
AH vừa là đường cao, vừa là trung tuyến
góc ABC=60 độ
=>ΔACb đều
b: ΔOBA' đều có BH là đường cao
nên BH=OA'*căn 3/2=R*căn 3/2
=>CH=R*căn 3/2
=>BC=R*căn 3
=>DC=căn DB^2-BC^2=R
DH=căn DC^2+CH^2=R*căn 7/2