a) Áp dụng Cauchy Schwars ta có:

\(M=\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 1

b) \(N=\frac{1}{a}+\frac{4}{b+1}+\frac{9}{c+2}\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{36}{6}=6\)

Dấu "=" xảy ra khi: x=y=1

c) \(P=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2.3}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: x=y=1

\(a>b>0\Rightarrow a+b>0\)

\(\left(a+b\right)^2=\left(a-b\right)^2+4ab=7^2+4.60=289\Rightarrow a+b=17\)

\(\Rightarrow a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)=7.17=119\)

\(a^2+b^2=\left(a-b\right)^2+2ab=7^2+2.60=169\)

\(\Rightarrow a^4+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2-2\left(ab\right)^2=169^2-2.60^2=21361\)

\(a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)

\(=7\cdot\sqrt{\left(a-b\right)^2+4ab}\)

\(=7\cdot\sqrt{7^2+4\cdot60}=119\)

Đây nhé! Tích giúp c nha

\(a^4+b^4=a^4+4a^2b^2+b^4-4a^2b^2\)

\(=\left(a^2+b^2\right)-4a^2b^2\)

\(=\left[\left(a-b\right)^2-2ab\right]^2-4\cdot\left(ab\right)^2\)

\(=\left(1^2-2\cdot12\right)^2-4\cdot12^2\)

\(=\left(1-24\right)^2-4\cdot144\)

\(=\left(-23\right)^2-576=-47\)

\(a^2+b^2=\left(a-b\right)^2+2ab=1^2+2.12=25\)

\(a^4+b^4=\left(a^2+b^2\right)-2\left(ab\right)^2=25^2-2.12^2=337\)

Đáp án đúng : B

Áp dụng BĐT Cô - Si cho hai số dương \(ab\)và \(\frac{1}{ab}\), ta có : 

\(ab+\frac{1}{ab}\ge2\sqrt{ab.\frac{1}{ab}}=2\sqrt{1}=2\)

\(\Rightarrow ab+\frac{1}{ab}\ge2\)

\(0< a;b< 1\) thì không tìm được GTNN

bạn Phạm Thị Thùy Linh làm nhầm rồi ĐK dấu bằng không xảy ra vì \(ab< \frac{1}{4}\)

Đề bài nên sửa thành \(a+b\le1\)thì Min=17/4

\(C=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\)

Vì \(a,b>0\)\(\Rightarrow\) Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu ta có:

\(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}=\frac{4}{1}=4\)

Vì \(a,b>0\)\(\Rightarrow\)Áp dụng bđt Cô si ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow2\sqrt{ab}\le1\)\(\Rightarrow\left(2\sqrt{ab}\right)^2\le1\)

\(\Leftrightarrow4ab\le1\)\(\Leftrightarrow2ab\le\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow\frac{1}{2ab}\ge2\)

\(\Rightarrow C=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge4+2=6\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x+y=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy \(minC=6\)\(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

bài này đã có rất nhiều bạn hỏi rồi 

Ta có hai bất đẳng thức phụ quen thuộc sau : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)(*) ; \(2xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)(**)

BĐT(*) \(< =>\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}< =>x^2+2xy+y^2\ge4xy< =>\left(x-y\right)^2\ge0\)(đúng)

BĐT(**)\(< =>x^2+2xy+y^2\ge4xy< =>\left(x-y\right)^2\ge0\)(đúng

Lại có  \(C=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\)

Sử dụng bất đẳng thức phụ (*) : \(C\ge\frac{1}{2ab}+\frac{4}{a^2+2ab+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2ab}+4\)

Sử dụng bất đẳng thức phụ (**)  : \(\frac{1}{2ab}+4\ge\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}+4=2+4=6\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Vậy GTNN của C = 6 đạt được khi a = b = 1/2