Hình vẽ: 

(Mình sẽ làm hết, trường hợp cho bạn nào chưa biết làm :P)

1)  Nối A với C.

Xét ΔABC có: \(\hept{\begin{cases}AM=BM\left(gt\right)\\BN=CN\left(gt\right)\end{cases}\Rightarrow}\)MN là đường trung tuyến \(\Rightarrow MN//AC\)và \(MN=\frac{1}{2}AC\left(1\right)\)

Xét ΔDAC có:\(\hept{\begin{cases}DQ=AQ\left(gt\right)\\DP=PC\left(gt\right)\end{cases}}\Rightarrow\)PQ là đưởng trung tuyến \(\Rightarrow PQ//AC\) và\(PQ=\frac{1}{2}AC\left(2\right)\)

từ (1) và (2) \(\Rightarrow MN=PQ=\frac{1}{2}AC\left(đpcm\right)\)

2) Nối B với D, AC cắt BD tại I

do ABCD là hình thoi nên \(AB\perp CD\Rightarrow\widehat{AIB}=90^o\)

ta có: \(\hept{\begin{cases}MN//AC\\PQ\text{​​}//AC\end{cases}}\Rightarrow MN//PQ//AC\)

Chứng minh tương tự như câu a) ta có: \(MQ//NP//BD\)

Cho giao điểm của AC với MQ là J; BD với MN là K

ta có: \(\hept{\begin{cases}MQ//BD\\AC\perp BD\end{cases}\Rightarrow MQ\perp AC\Rightarrow\widehat{MJI}=90^o.}\); \(\hept{\begin{cases}MN//AC\\BD\perp AC\end{cases}\Rightarrow MN\perp BD\Rightarrow\widehat{MKI}=90^o}\)

Xét tứ giác JMKI có: \(\widehat{AIB}=\widehat{MJI}=\widehat{MKI}=90^o\)=> JMKI là hình chữ nhật

=> MN vuông góc với MQ => \(\widehat{QMN}=90^o\)

3) ta có: \(MN//PQ\)mà \(MN\perp MQ\)\(\Rightarrow PQ\perp MQ\Rightarrow\widehat{PQM}=90^o\)

do \(MQ//PN\)mà \(MN\perp MQ\)\(\Rightarrow MN\perp NP\Rightarrow\widehat{PNM}=90^o\)

Xét tứ giác MNPQ có: \(\widehat{QMN}=\widehat{PQM}=\widehat{PNM}=90^o\)=> MNPQ là hình chữ nhật

4) Xét hình thoi ABCD, ta có: \(\hept{\begin{cases}AB=CD\\AB\text{​​}\text{​​}//CD\end{cases}}\)mà M, P lần lượt là trung điểm cùa AB, CD

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}MB=DP\\MB//DP\end{cases}}\)=> MBPD là hình bình hành

5) Xét ΔABD có AB = AD => ΔABD là tam giác cân => \(\widehat{ADB}=\widehat{ABD}\)

Xét tứ giác MQDB có: \(\hept{\begin{cases}MQ//DB\left(cmt\right)\\\widehat{ADB}=\widehat{ABD}\left(cmt\right)\end{cases}\Rightarrow}\)MQDB là hình thang cân

mà \(ID=IB;IJ\perp BD\)=> \(JQ=JM=\frac{1}{2}QM\) 

do \(QM=\frac{1}{2}BD=IB\Rightarrow JM=\frac{1}{2}IB=\frac{1}{4}BD\Rightarrow MQ=\frac{1}{2}BD\)

Xét ΔABI có: \(\hept{\begin{cases}JM=\frac{1}{2}IB\\JM//IB\end{cases}\Rightarrow}\)JM là  đường trung bình => AJ = JI 

Xét hình chữ nhật JMKI, ta có: JI = MK mà AJ = JI(cmt)\(\Rightarrow MK=\frac{1}{2}AI=\frac{1}{4}AC\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AC\)

ta có: \(S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=2\cdot\frac{1}{2}AC\cdot\frac{1}{2}BD=2\cdot MQ\cdot MN=2\cdot S_{MNPQ}\)

\(\Rightarrow S_{MNPQ}=\frac{S_{ABCD}}{2}=\frac{12}{2}=6\left(cm^2\right)\)

Cách làm câu 5) có vẻ hơi dài, bạn có thể lược bớt nhé! ^^ Hình như bài có chút sai đề ở S_ABCD = 12cm²

Học tốt nhé ^3^

a: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của BC

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN=AC/2(1)

Xét ΔADC có

Q là trung điểm của AD

P là trung điểm của CD

Do đó: QP là đường trung bình của ΔADC
Suy ra: QP//AC và QP=AC/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra MN=QP

giúp vs