Cho phương trình ax2 + bx + c = 0(a khác 0)
CMR: để pt có 2 nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia thì 9ac = 2b2
cho pt x^2+px+q=0 cmr nếu 2p^2-9q=0 thì pt có 2 nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
phương trình : \(x^2\)+px+q=0
giả sử phương trình này có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia :\(x_1\)=2.\(x_2\)
áp dụng hệ thức vi ét và kết hợp điều kiện trên ta có:
\(\begin{cases}x_1=2x_2\\x_1+x_2=-p\\x_1.x_2=q\end{cases}\)<=>\(\begin{cases}x_1=2x_2\\2x_2+x_2=-p\\x_1.x_2=q\end{cases}\)<=>\(\begin{cases}x_1=2x_2\\3.x_2=-p\\x_1.x_2=q\end{cases}\)<=>\(\begin{cases}x_1=2x_2\\x_2=\frac{-p}{3}\\x_1.x_2=q\end{cases}\)
<=>\(\begin{cases}x_1=\frac{-2p}{3}_{ }\\x_2=\frac{-p}{3}\\x_1.x_2=q\end{cases}\) thay \(x_1\)=\(\frac{-2p}{3}\);\(x_2\)=\(\frac{-p}{3}\) vào phương trình \(x_1\).\(x_2\)=q ta có:
\(\frac{-2p}{3}\).\(\frac{-p}{3}\)=q <=> 2\(p^2\)-9q=0
vậy khi 2\(p^2\)-9p=0 thì phương trình trên có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
cho pt x^+px+q=0 cmr nếu 2p^-9q=0 thì pt có 2 nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
giúp mìn zới :3 :3
giả sử phương trình đã cho có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
Và áp dụng hệ thúc viet ta có:
\(\begin{cases}x_1+x_2=-p\\x_{1.}.x_2=q\\x_1=2x_2\end{cases}\)=>\(\begin{cases}2x_2+x_2=-p\\x_{1.}.x_2=q\\x_1=2x_2\end{cases}\)=>\(\begin{cases}3x_2=-p\\x_{1.}.x_2=q\\x_1=2x_2\end{cases}\)=>\(\begin{cases}x_2=\frac{-p}{3}\\x_{1.}.x_2=q\left(1\right)\\x_1=\frac{-2p}{3}\end{cases}\)
Thay \(x_1\)=\(\frac{-2p}{3}\); \(x_2\)=\(\frac{-p}{3}\) vào (1) ta có:
\(\frac{-2p}{3}\).\(\frac{-p}{3}\)=q
2\(p^2\)=9q
2\(p^2\)-9q=0
Vậy khi 2\(p^2\)-9q=0 thì phương trình trên có nghiệm này gấp 2 nghiệm kia
Cho pt : ( m-1)x²-2mx+m+1=0 Tìm m để pt có 2 nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
\(\text{Δ}=\left(-2m\right)^2-4\left(m-1\right)\left(m+1\right)\)
\(=4m^2-4m^2+4=4\)
Vì Δ>0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Theo đề, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1-2x_2=0\\x_1+x_2=\dfrac{2m}{m-1}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_2=\dfrac{2m}{m-1}\\x_1=2x_2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{2m}{3m-3}\\x_1=\dfrac{4m}{3m-3}\end{matrix}\right.\)
Theo đề, ta có: \(x_1\cdot x_2=\dfrac{m+1}{m-1}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{8m^2}{9\left(m-1\right)^2}=\dfrac{m+1}{m-1}\)
\(\Leftrightarrow8m^2=9\left(m+1\right)\left(m-1\right)\)
\(\Leftrightarrow9m^2-9-8m^2=0\)
hay \(m\in\left\{3;-3\right\}\)
3. Viết hệ thức Vi-et đối với các nghiệm của phương trình bậc hai
a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 )
Nêu điều kiện để phương trình a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0) có một nghiệm bằng 1. Khi đó, viết công thức nghiệm thứ hai. Áp dụng: nhẩm nghiệm của phương trình
1954 x 2 + 21 x – 1975 = 0
Nêu điều kiện để phương trình a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) có một nghiệm bằng -1. Khi đó, viết công thức nghiệm thứ hai. Áp dụng: nhẩm nghiệm của phương trình
2005 x 2 + 104 x – 1901 = 0
Viết hệ thức Vi-et đối với các nghiệm của phương trình bậc hai
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Nêu điều kiện để phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có một nghiệm bằng 1. Khi đó, viết công thức nghiệm thứ hai. Áp dụng: nhẩm nghiệm của phương trình
1954x2 + 21x – 1975 = 0
Nêu điều kiện để phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có một nghiệm bằng -1. Khi đó, viết công thức nghiệm thứ hai. Áp dụng: nhẩm nghiệm của phương trình
2005x2 + 104x – 1901 = 0
cho phương trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm ( a>0)
CMR: ax2 + bx + c > 0 với mọi x thuộc R
Vì PTVN nên Δ<0
=>f(x)=ax^2+bx+c luôn cùng dấu với a
=>f(x)>0 với mọi x
cho pt : x\(^2\)-2x+m-1=0
a)giải pt khi m =-3.
b) với giá trị nào của m thì pt có nghiệm kép ?
c) tìm m để pt có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia?
a. Thay m=-3 ta có: \(x^2-2x-3-1=0\Leftrightarrow x^2-2x-4=0\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}x=1+\sqrt{5}\\x=1-\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
b. Ta có, để phương trình có nghiệm kép thì: \(\Delta=0\Leftrightarrow2^2-4.1.\left(m-1\right)=0\Leftrightarrow m=2\)
c. Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì:\(\Delta>0\Leftrightarrow2^2-4.1.\left(m-1\right)>0\Leftrightarrow m< 2\)
Áp dụng định lí Vi-et ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-\left(-2\right)}{1}=2\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)
Theo đề ta có: \(x_1=2x_2\)\(\Rightarrow3x_2=2\Rightarrow x_2=\dfrac{2}{3}\Rightarrow x_1=\dfrac{4}{3}\Rightarrow m=\dfrac{17}{9}\)(TM)
a, Thay m = -3 vào pt trên ta được
\(x^2-2x-4=0\)
\(\Delta'=\left(-1\right)^2-\left(-4\right)=5>0\)
pt có 2 nghiệm pb
\(x_1=2-\sqrt{5};x_2=2+\sqrt{5}\)
b, Để pt có nghiệm kép
\(\Delta'=\left(-1\right)^2-\left(m-1\right)=1-m+1=2-m=0\Leftrightarrow m=2\)
cho pt \(mx^2-2mx+1=0\)
a) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm và tính nghiệm của phương trình theo m
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm sao cho 1 nghiệm gấp đôi nghiệm kia
a)
+) Với m = 0 thay vào phương trình ta có: 1 = 0 => loại
+) Với m khác 0
\(\Delta'=m^2-m=m\left(m-1\right)\)
Để phương trình có nghiệm điều kiện là: \(m\left(m-1\right)\ge0\)
TH1: m \(\ge\)0 và m - 1 \(\ge\)0
<=> m \(\ge\) 0 và m \(\ge\)1
<=> m \(\ge\)1
TH2: m \(\le\) 0 và m - 1 \(\le\)0
<=> m \(\le\)0 và m \(\le\)1
<=> m \(\le\)0
Đối chiếu điều kiên m khác 0
Vậy m < 0 hoặc m \(\ge\)1
+) Tính nghiệm của phương trình theo m. Tự làm áp dụng công thức
b) Gọi \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình
Theo định lí vi ét ta có:
\(x_1x_2=\frac{1}{m};x_1+x_2=\frac{2m}{m}=2\)
Không mất tính tổng quát ta g/s: \(x_1=2x_2\)
=> \(3x_2=2\Leftrightarrow x_2=\frac{2}{3}\)=> \(x_1=\frac{4}{3}\)
Ta có: \(\frac{4}{3}.\frac{2}{3}=\frac{1}{m}\)
<=> \(m=\frac{9}{8}\)( thỏa mãn a )
Thử lại thỏa mãn
Vậy m = 9/8
Cho phương trình x2 - 2(m-1)x +2m -3 = 0 (1) với m là tham số
a) Giải phương trình khi m = 2
b) Tìm m để (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
a, bạn tự làm
b, Để pt có 2 nghiệm khi
\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(2m-3\right)=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\ge0\forall m\)
Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\left(1\right)\\x_1x_2=2m-3\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Ta có \(x_1=2x_2\left(3\right)\)
Từ (1) ; (3) ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1-2x_2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_2=2\left(m-1\right)\\x_1=2x_2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{2\left(m-1\right)}{3}\\x_1=\dfrac{4\left(m-1\right)}{3}\end{matrix}\right.\)
Thay vào (2) ta đc
\(\dfrac{8\left(m-1\right)^2}{9}=2m-3\Leftrightarrow8\left(m-1\right)^2=18m-27\)
\(\Leftrightarrow8m^2-16m+8=18m-27\Leftrightarrow8m^2-34m+35=0\)
\(\Leftrightarrow m=\dfrac{5}{2};m=\dfrac{7}{4}\)