a: Xét ΔABC có

AM/AB=AN/AC

Do đó: MN//BC

hay BMNC là hình thang

mà BN=CM

nên BMNC là hình thang cân

\(c,\) Vì AD//BP và AD=BP nên ADPB là hbh

Do đó O là trung điểm AP và BD

Xét tam giác ADP có DO và AN là trung tuyến giao tại G nên G là trọng tâm

Do đó \(DG=\dfrac{2}{3}DO\)

Mà \(DO=\dfrac{1}{2}BD\Rightarrow DG=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{3}BD\)

\(1,\left\{{}\begin{matrix}AM=MB\\AN=NC\end{matrix}\right.\Rightarrow MN\) là đtb \(\Delta ABC\Rightarrow MN=\dfrac{1}{2}BC.hay.2MN=BC\)

\(2,\) Vì \(MN//BC\left(t/c.đtb\right)\Rightarrow MNCB\) là hình thang

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(\Delta ABC.cân\right)\)

\(\Rightarrow MNCB\) là hthang cân

\(3,\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MNO}=\widehat{OCB}\\\widehat{NMO}=\widehat{OBC}\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta MNO\sim\Delta COB\left(g.g\right)\\ \Rightarrow\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{MO}{OC}\Rightarrow\dfrac{2MI}{2CK}=\dfrac{MO}{OC}\Rightarrow\dfrac{MI}{CK}=\dfrac{MO}{OC}\)

Lại có \(\widehat{IMO}=\widehat{OCK}\left(so.le.trong\right)\)

\(\Rightarrow\Delta IMO\sim\Delta KCO\left(c.g.c\right)\)

Do đó \(\widehat{MOI}=\widehat{KOC}\Rightarrow I;O;K\) thẳng hàng \(\left(1\right)\)

Chứng minh tương tự, ta được \(\Delta MAI\sim\Delta BAK\Rightarrow\widehat{AHE}=\widehat{BHF}\Rightarrow A;I;K\) thẳng hàng \(\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow A;I;O;K\) thẳng hàng 

1) Xét ΔABC cân tại A, có:

M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC

⇒ MN là đường trung bình ΔABC

⇒ MN = 1/2BC ⇒ BC = 2MN (ĐPCM)

2) Xét tứ giác MNCB, có:

MN // BC(MN là đường trung bình)

MB = NC (do AB = AC và M, N là trung điểm AB, AC)

⇒ MNCB là hình thang.

mà:

\(\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\) (do ΔABC cân tại A)

⇒ MNCB là hình thang cân.

d. Xét ΔAMN, có:

\(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\) (đồng vị so với \(\widehat{ABC},\widehat{ACB}\))

⇒ ΔAMN cân tại A, mà AI ⊥ MN (do MN là cạnh đáy, I là trung điểm MN) ⇒ A,I thẳng hàng 

Chứng minh tương tự cho tam giác ABC với BC là cạnh đáy có K là trung điểm, ta được A, I, K thẳng hàng (1)

Có ΔMON cân, do \(\widehat{ONM}=\widehat{OMN}\) vì \(\widehat{BMN}=\widehat{CNM}\) ⇒ OI thẳng hàng do I là trung điểm cạnh đáy MN của tam giác cân. (2)

Từ (1) và (2) ⇒ A, I, O, K thẳng hàng.

a: Xét ΔAEB có 

EM là đường cao

EM là đường trung tuyến

Do đó: ΔAEB cân tại E