\(a\orbr{x=\frac{\pm\sqrt{5}-3}{4}}\)

\(b\hept{\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}}\)

2)\(\Leftrightarrow\left(x^3-x^2y\right)+\left(y^3-xy^2\right)=5\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)+y^2\left(y-x\right)=5\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)=5\)

TH1\(\hept{\begin{cases}x-y=1\\x^2-y^2=5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}\left(N\right)}}\)

TH2\(\hept{\begin{cases}x-y=5\\x^2-y^2=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{ }x,y\in\varnothing}\)

TH3\(\hept{\begin{cases}x-y=-1\\x^2-y^2=-5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}\left(N\right)}}\)

TH4\(\hept{\begin{cases}x-y=-5\\x^2-y^2=-1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{ }x,y\in\varnothing}\)

Vậy......

bạn mai anh làm đúng rồi mình xét thiếu trường hợp . nhưng nên phân tích thành (x+y)(x-y)² dễ hơn

Dùng định lý kẹp nhé

có 2x² + 3x + 1 = (x + 3/4)² + 7/16 > 0

<=> x³ + 2x² + 3x + 1 > x³ (1)

có x² >= 0

<=> x³ + 3x² + 3x + 1 >= x³ + 2x² + 3x + 1 (2)

Từ (1) và (2) => x³ + 2x² + 3x + 1 = x³ + 3x² + 3x + 1

<=> x = 0

Thay vào biểu thức được y = -3

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là (x;y) = (0;-3)

Cái phần "

có 2x2 + 3x + 1 = (x + 3/4)2 + 7/16 > 0

<=> x3 + 2x2 + 3x + 1 > x3 (1)

" bị sai

đổi thành 5x²+2>0 <=> x3 + 2x2 + 3x + 1 > (x-1)³

thử thêm với trường hợp x3 + 2x2 + 3x + 1 = x³ được x =  -1 => y = -1

Vậy nghiêm nguyên của phương trình là (x;y) = (0;-3) ; (-1;-1)

  2x^2 + y^2 + 3xy + 3x + 2y + 2 = 0 

<=> 16x^2 + 8y^2 + 24xy + 24x + 16y + 16 = 0 

<=> (4x)^2 + 24x(y+1) + 8y^2 + 16y + 16 = 0 

<=> (4x)^2 + 24x(y+1) + [3(y + 1)]^2 - [3(y + 1)]^2 + 8y^2 + 16y + 16 = 0 

<=> (4x + 3y + 3)^2 - 9y^2 - 18y - 9 + 8y^2 + 16y + 16 = 0 

<=> (4x + 3y + 3)^2 - y^2 - 2y - 1 + 8 = 0 

<=> (4x + 3y + 3)^2 - (y + 1)^2 = - 8 

<=> (y + 1)^2 - (4x + 3y + 3)^2 = 8 

<=> (y + 1 +4x + 3y + 3)(y + 1 - 4x - 3y - 3) = 8 

<=> 4(x + y + 4)( - 4x - 2y - 2) = 8 

<=> (x + y + 4)( 2x + y + 1) = -1 

=> 
{x + y + 4 = -1 
{2x + y + 1 = 1 
=> x = 2 và y = - 4 

{x + y + 4 = 1 
{2x + y + 1 = - 1 
=> x = - 2 và y = 2 

vậy nghiệm (x;y) = (2 ; - 4) (-2; 2)

Khai triển tung hết đẳng thức đã cho ra rồi thu gọn ta được

\(2y^3+x^2y^2+xy+3x^2y-3xy^2=0\left(1\right)\)

Vì y khác 0 nên chia cả 2 vế của (1) cho y ta đc

\(2y^2+x^2y+x+3x^2-3xy=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(3+y\right)-x\left(3y-1\right)+2y^2=0\left(2\right)\)

Vì y nguyên dương => y + 3 > 0 nên pt (2) là pt bậc 2 ẩn x

Ta có \(\Delta=-8y^3-15y^2-6y+1\)

Để pt có nghiệm thì \(\Delta\ge0\Leftrightarrow y\le\frac{1}{8}\)

mà y nguyên dương => y thuộc rỗng

=> Pt đã cho ko có nghiệm nguyên dương

Bài 1:

Đặt 2x+1=a

Theo đề, ta có: \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{\left(a+1\right)^2}=3\)

=>3a^2(a+1)^2=a^2+2a+1+a^2

=>3a^2(a^2+2a+1)-2a^2-2a-1=0

=>3a^4+6a^3+a^2-2a-1=0

=>(a^2+a-1)(3a^2+3a+1)=0

=>\(a\in\left\{\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2};\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\right\}\)

=>\(2x+1\in\left\{\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2};\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\right\}\)

=>\(2x\in\left\{\dfrac{-3+\sqrt{5}}{2};\dfrac{-3-\sqrt{5}}{2}\right\}\)

hay \(x\in\left\{\dfrac{-3+\sqrt{5}}{4};\dfrac{-3-\sqrt{5}}{4}\right\}\)

khai triển và rút gọn 2 vế ta được x(x+1)=y⁴+2y³+3y²+2y

<=> x(x+1)=y²(y+1)²+2y(y+1)

<=> x²+x+1=(y²+y+1)² (1)

nếu x>0 thì từ x²<x²+x+1<(x+1)² => (1) không có nghiệm nguyên x>0

nếu x=0 hoặc x=-1 thì từ (1) => y²+y+1 = \(\pm\)1 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\y=-1\end{cases}}\)

ta có nghiệm (x;y)=(0;0);(0;-1);(-1;0);(-1;-1)

nếu x<-1 thì từ (x+1)²<x²+x+1<x²

=> (1) không có nghiệm nguyên x<-1

tóm lại phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên (x;y)=(0;0);(0;-1);(-1;0);(-1;-1)