\(A=2\left(a^2+b^2\right)=2\left[\left(b+1\right)^2+b^2\right]=2\left(2b^2+2b+1\right)=4\left[b^2+b+\dfrac{1}{4}\right]+1=4\left(b+\dfrac{1}{2}\right)^2+1\ge1\)

 " = " \(\Leftrightarrow b=-\dfrac{1}{2};a=\dfrac{1}{2}\)

https://tuhoc365.vn/qa/cho-bieu-thuc-p-a4-b4-ab-voi-ab-la-cac-so-thuc-thoa-man-a2-b2-ab-3-tim-gia-tri-lon/

Bạn có thể tham khảo ở đây nha. 

\(A=x^2-2x+2024\)

\(A=x^2-2x+1+2023=\left(x-1\right)^2+2023\ge2023\)

Min A = 2023 khi x = 1 

=x^2-2x+1+2023

=(x-1)^2+2023>=2023

Dấu = xảy ra khi x=1

\(P\ge\dfrac{\left(2a+1+2b+1\right)\left(2a+1+2b+1\right)}{\left(2a+1\right)\left(2b+1\right)}\ge\dfrac{4\left(2a+1\right)\left(2b+1\right)}{\left(2a+1\right)\left(2b+1\right)}=4\)

Vậy \(P_{max}=4\), với a=b=1

\(A=\dfrac{x-4+5}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)+5}{\sqrt{x}-2}=\sqrt{x}+2+\dfrac{5}{\sqrt{x}-2}\)

\(=\sqrt{x}-2+\dfrac{5}{\sqrt{x}-2}+4\ge2\sqrt{\dfrac{5\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}-2}}+4=4+2\sqrt{5}\)

\(A_{min}=4+2\sqrt{5}\) khi \(9+4\sqrt{5}\)

b.

Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{l}{z}\right)\Rightarrow xyz=1\)

\(B=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\dfrac{3}{2}\)

\(B_{min}=\dfrac{3}{2}\) khi \(x=y=z=1\Rightarrow a=b=c=1\)

Đáp án C.

Ta có P = 2 b a 2 b a − 1 2 + 1 2 . 2 b a + 1.  Đặt t = 2 b a ,  do  0 < b < 2 → t > 1.

Xét hàm số f ( t ) = t t − 1 2 + t 2 + 1  trên 1 ; + ∞ .  

Đạo hàm  

f ' ( t ) = ( t − 1 ) 2 − 2 t ( t − 1 ) ( t − 1 ) 4 + 1 2 = t + 1 ( t − 1 ) 3 + 1 2 ; f ' ( t ) = 0 ⇔ t = 3.

Lập bảng biến thiên của hàm số, ta thấy min f ( x ) = f ( 3 ) = 13 4 .  Vậy P min = 13 4 .  

Lời giải:

Ta có:

$P^2=2+2(a+b)+2\sqrt{(1+2a)(1+2b)}=2+2+2\sqrt{1+2(a+b)+4ab}$

$=4+2\sqrt{3+4ab}$

Vì $a,b\geq 0$ nên $\sqrt{3+4ab}\geq \sqrt{3}$

$\Rightarrow P^2\geq 4+2\sqrt{3}$

$\Rightarrow P\geq \sqrt{3}+1$
Vậy $P_{\min}=\sqrt{3}+1$. Giá trị này được khi $(a,b)=(1,0)$ và hoán vị.