\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)-3ab\left(a+b\right)+3abc-c^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-c^3-3ab\left(a+b-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab+ac+bc\right)-3ab\left(a+b-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab+ac+bc\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left[\left(a-\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}+c^2+ac+bc\right]\ge0\) (1)

Do a; b; c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên \(a+b>c\Rightarrow a+b-c>0\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\) luôn đúng

Nhưng dấu "=" ko xảy ra nên BĐT đã cho bị sai :(

\(a^3+b^3+3abc\ge c^3\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3abc-c^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3a^2b+3ab^2+3abc-3a^2b-3ab^2-c^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-c^3-3ab\left(a+b-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab+ca+bc\right)-3ab\left(a+b-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab+ca+bc\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\cdot\frac{1}{2}\cdot\left[\left(a-b\right)^2+\left(a+c\right)^2+\left(b+c\right)^2\right]\ge0\)

( luôn đúng với \(a;b;c\) là 3 cạnh tam giác )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=c\\\left\{{}\begin{matrix}a=b\\a=-c;b=-c\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Mà \(a;b;c>0\Leftrightarrow a+b=c\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a+b-c=x\\b+c-a=y\\c+a-b=z\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{x+z}{2}\\b=\frac{x+y}{2}\\c=\frac{y+z}{2}\end{matrix}\right.\)

Đặt \(A=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\)

\(A=\frac{\frac{x+z}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y}{2}}{z}+\frac{\frac{y+z}{2}}{x}\)

\(A=\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}+\frac{y+z}{2x}\)

\(A=\frac{x}{2y}+\frac{z}{2y}+\frac{x}{2z}+\frac{y}{2z}+\frac{y}{2x}+\frac{z}{2x}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(A\ge6\sqrt[6]{\frac{x}{2y}.\frac{z}{2y}.\frac{x}{2z}.\frac{y}{2z}.\frac{z}{2x}.\frac{y}{2x}}=6.\frac{1}{2}=3\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y=z <=> a=b=c

Áp dụng BĐT AM-GM ta có $\sum \frac{a}{b+c-a} \ge 3 \sqrt[3]{ \frac{abc}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}} \ge 3$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.

Vì a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác nên \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a>0\\a+b-c>0\\c+a-b>0\end{matrix}\right.\)

* Ta cm bđt : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

+ \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

Vì bđt cuối luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương nên bđt ban đầu luôn đúng

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Do đó : \(-\left(a^2+b^2+c^2\right)\le ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(\le2\left(ab+bc+ca\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)\le ab+bc+ca\)

+ \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

Do đó : \(2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

* Áp dụng bđt Cauchy Schwaz ta có :

\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\) \(=\frac{a^2}{ab+ac-a^2}+\frac{b^2}{ab+bc-b^2}+\frac{c^2}{ac+bc-c^2}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\) \(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

mình nhầm.câu hỏi 2=-1

bạn nào giúp mùnh với! Chiều nay mình phải nộp rồi.

 vì  a^2+b^2+c^2=2009 nên 2( a^4+b^4+c^4)=2009 <=>a^4+b^4+c^4=1004,5

sai rồi bạn ơi

Đặt \(a+b-c=x;b+c-a=y;c+a-b=z\)

\(\Rightarrow x+y+z=a+b-c+b+c-a+c+a-b\)

\(=a+b+c\)

Thay \(x;y;z;x+y+z\) vào M, ta được:

\(M=\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3\)

\(=\left(x+y\right)^3+z^3+3\left(x+y\right)^2z+3\left(x+y\right)z^2-x^3-y^3-z^3\)

\(=x^3+y^3+z^3-x^3-y^3-z^3+3xy\left(x+y\right)+3z\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\)\(=3\left(x+y\right)\left[xy+z\left(x+y+z\right)\right]\)

\(=3\left(x+y\right)\left(xy+xz+zy+z^2\right)\)

\(=3\left(x+y\right)\left[x\left(y+z\right)+z\left(y+z\right)\right]\)

\(=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\)

\(=3\left(a+b-c+b+c-a\right)\left(b+c-a+c+a-b\right)\left(a+b-c+c+a-b\right)\)

\(=3.2b.2c.2a=24abc\)

Vì \(24abc⋮24\forall a,b,c\) nên \(M⋮24\)

Vậy...