Lời giải:
a. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: 

$144=AH^2=BH.HC(1)$

$BH+CH=BC=25(2)$

Từ $(1); (2)$ áp dụng định lý Viet đảo thì $BH, CH$ là nghiệm của pt: $x^2-25x+144=0$

$\Rightarrow BH, CH= (16,9)$

Mà $AB< AC$ nên $BH< CH$

$\Rightarrow BH=9; CH=16$ (cm) 

$AB=\sqrt{BH^2+AH^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15$ (cm) 

$AC=\sqrt{CH^2+AH^2}=\sqrt{16^2+12^2}=20$ (cm)

b. 

$AM=\frac{BC}{2}=\frac{25}{2}$ (cm) 

$\sin \widehat{AMH}=\frac{AH}{AM}=\frac{24}{25}$

$\Rightarrow \widehat{AMH}\approx 74^0$

c. 

$HM=\sqrt{AM^2-AH^2}=\sqrt{(\frac{25}{2})^2-12^2}=3,5$ (cm) 

$S_{AHM}=\frac{AH.HM}{2}=\frac{12.3,5}{2}=21$ (cm²)

Hình vẽ:

a: Đặt BH=x; CH=y(x<y)

Theo đề, ta có: xy=12^2=144 và x+y=48

=>x,y là các nghiệm của phương trình:

x^2-48x+144=0

=>x=24-12 căn 3 hoặc x=24+12căn 3

=>BH=24-12căn 3 và CH=24+12căn 3

\(AB=\sqrt{\left(24-12\sqrt{3}\right)\cdot48}\simeq12,42\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{\left(24+12\sqrt{3}\right)\cdot48}\simeq46,36\left(cm\right)\)

b: AM=BC/2=24cm

sin AMH=AH/AM=12/24=1/2

=>góc AMH=30 độ

a: Kẻ BD vuông góc AC,CE vuông góc AB

góc BEC=góc BDC=90 độ

=>BEDC nội tiếp

=>góc AED=góc ACB

=>ΔAED đồng dạng vơi ΔACB

Tâm M của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDCE là trung điểm của BC

Gọi H là giao của BD và CE

=>AH vuông góc BC tại N

Gọi giao của OM với (O) là A'

ΔOBC cân tại O

=>OM vuông góc BC

AN<=A'M ko đổi

=>\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AN\cdot BC< =\dfrac{1}{2}\cdot A'M\cdot BC_{kođổi}\)

Dấu = xảy ra khi A trùng A'

=>A là điểm chính giữa của cung BC

a: Ta có: H và M đối xứng nhau qua AB

nên AB là đường trung trực của MH

Suy ra: AM=AH

Xét ΔAMH có AM=AH

nên ΔAMH cân tại A

mà AB là đường trung trực ứng với cạnh đáy HM

nên AB là tia phân giác của \(\widehat{MAH}\)

b)

gọi gd của HN và AC là I

gọi gd AB và HM là K

Xét tg HAN có AN là dg trung trực của HN

=> AH=AN=> tg AHN cân tại A.

=> HAI = IAN 

 Vì AB là pg MAH(cmt)=> MAK =KAH 

mà KAH+HAI=A=90 độ

=> MAK+IAN=90 độ

=> MAK+IAN+KAH +HAI=90+90=180 độ

=> A,M,N thẳng hàng    (1)

Ta có: tg AMH cân tại A(cmt)=> AM=AH

          Tg HAN cân tại A(cmt)=> AH=AN

=> AM=AN.              (2)

=> A là td MN

c) xét tg MBH có BK vg góc với MH=> BK là dg cao

                           MK=KH=> BK là dg ttuyến 

=> tg MBH cân tại B(tc tg cân)

=> MB=BH

Chứng minh tương tự cho tg HCN

=> tg HCN cân tại C(tc tg cân)

=> CH=CN

mà BH+HC=BC=> MB+CN=BC