\(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}=\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}< \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)\(=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

\(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}=\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}< \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

Tại sao trừ 2 căn thức lại ra như vậy ạ mình k hiểu

n là số nguyên dương

Bình phương hai vế, ta được:

\(\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\right)^2=n+2+n+1-2\sqrt{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}\) \(=2n+3-2\sqrt{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}\)

\(\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)^2=n+1+n-2\sqrt{n\left(n+1\right)}\) \(=2n+1-2\sqrt{n\left(n+1\right)}\)

Ta có: \(\left(n+2\right)\left(n+1\right)>n\left(n+1\right)\Rightarrow2\sqrt{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}>2\sqrt{n\left(n+1\right)}\)

Mà 2n + 3 > 2n + 1

 \(\Rightarrow2n+3-2\sqrt{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}>2n+1-2\sqrt{n\left(n+1\right)}\)

=> ( √n+2 -  √n+1)^2 > ( √n-1 -  √n)^2

=>  √n+2 -  √n+1 >  √n-1 -  √n

P/s: Em làm còn sai nhiều, mong mọi người góp ý, đừng chọn sai cho em. Em cảm ơn

Hình như sai b ạ

\(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\) và \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

Bình phương mỗi số hạng, ta có:

\(\left(\sqrt{n+2}\right)^2-\left(\sqrt{n+1}\right)^2\) và \(\left(\sqrt{n+1}\right)^2-\left(\sqrt{n}\right)^2\)

\(n+2-n+1\) và \(n+1-n\) ( Vì \(n\ge0\))

\(3\) và \(1\)

\(\Rightarrow3>1\)

Vậy \(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}>\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

\(\hept{\begin{cases}\frac{2}{2\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\\\frac{2}{2\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\end{cases}}\)

Từ đây ta có:

\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{1}-\sqrt{0}+\sqrt{2}-\sqrt{1}+...+\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)

\(=2\left(\sqrt{n}-0\right)=2\sqrt{n}\)

Tương tự ta có:

\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}>2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)

\(=2\left(\sqrt{n+1}-1\right)>\sqrt{n}\)

Gọi \(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}=A\)là A

Có \(\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{3}}>...>\frac{1}{\sqrt{n}}\)

=> \(A>n.\frac{1}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}\)(1)

Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=2\left(\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\right)\)

=> \(\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)

Khi đó: \(\frac{1}{\sqrt{1}}< 2\left(\sqrt{1}-\sqrt{0}\right)\)

\(\frac{1}{\sqrt{2}}< 2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)\)

...

\(\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)

=> \(A< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}+...+\sqrt{1}\right)\)

=> \(A< 2\sqrt{n}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\sqrt{n}< A< 2\sqrt{n}\)

Ta tính một vài giá trị đầu của U_n:

\(U_1=3;U_2=7;U_3=15;U_4=35;U_5=83\)

Đặt \(U_{n+1}=aU_n+bU_{n-1}+c\) (*)

Khi đó thay lần lượt \(n=2,n=3,n=4\) vào (*), ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}15=7a+3b+c\\35=15a+7b+c\\83=35a+15b+c\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\\c=-2\end{matrix}\right.\)

Do đó \(U_{n+1}=2U_n+U_{n-1}-2\)

BĐT đúng với n=2

giả sử BĐT đúng với n=k , tức là: \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k}< k\sqrt{\frac{k+1}{2}}\)

Ta phải chứng minh BĐT đúng vớới n=k+1:

\(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k}+\sqrt{k+1}< \left(k+1\right)\sqrt{\frac{k+2}{2}}\)

Ta thấy: \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k}+\sqrt{k+1}< k\sqrt{\frac{k+1}{2}}+\sqrt{k+1}\)

Mà: \(k\sqrt{\frac{k+1}{2}}+\sqrt{k+1}< \left(k+1\right)\sqrt{\frac{k+2}{2}}\)(*)

Thậy vậy: (*)\(\Leftrightarrow\sqrt{k+1}\left(\frac{k}{\sqrt{2}}+1\right)< \left(k+1\right)\sqrt{\frac{k+2}{2}}\Leftrightarrow\frac{k}{\sqrt{2}}+1< \sqrt{k+1}\sqrt{\frac{k+2}{2}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{k+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}< \sqrt{k+1}\frac{\sqrt{k+2}}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow k^2+2\sqrt{2k}+2< k^2+3k+2\)(luôn đúng)

Suy ra: \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k}+\sqrt{k+1}< \left(k+1\right)\sqrt{\frac{k+2}{2}}\)

hay \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...\sqrt{n}< n\sqrt{\frac{n+1}{2}}\)

Mình cảm ơn bạn ạ!!

Đề sai. Cho $n=2$ thì $\sqrt{1}+\sqrt{2}> \sqrt{\frac{3}{2}}$