Cho x,y,z dương thỏa mãn x + y + z = xy + yz + zx. Chứng minh:
\(\frac{1}{x^2+y+1}+\frac{1}{y^2+z+1}+\frac{1}{z^2+x+1}\le1\)
Cho x,y,z > 0 thỏa mãn xy + yz +zx = 1.Chứng minh
\(\frac{x-y}{z^2+1}\)+\(\frac{y-z}{x^2+1}\)+\(\frac{z-x}{y^2+1}\)=0
\(\dfrac{x-y}{z^2+1}=\dfrac{x-y}{z^2+xy+yz+zx}=\dfrac{x-y}{z\left(z+y\right)+x\left(z+y\right)}=\dfrac{x-y}{\left(x+z\right)\left(z+y\right)}\)
Tương tự: \(\dfrac{y-z}{x^2+1}=\dfrac{y-z}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\);\(\dfrac{z-x}{y^2+1}=\dfrac{z-x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT=\dfrac{x-y}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{y-z}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\dfrac{z-x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)
\(=\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\left(y-z\right)\left(y+z\right)+\left(z-x\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\dfrac{x^2-y^2+y^2-z^2+z^2-x^2}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=0\)(đpcm)
Cho x,y,z dương thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=3\) . Chứng minh:
\(\frac{1}{4-\sqrt{xy}}+\frac{1}{4-\sqrt{yz}}+\frac{1}{4-\sqrt{zx}}\le1\)
Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành: \(\frac{1}{\sqrt{xy}-4}+\frac{1}{\sqrt{yz}-4}+\frac{1}{\sqrt{zx}-4}\ge-1\)(*)
Theo BĐT Cauchy, ta có: \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\le\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=x+y+z\)
Mà ta có: \(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)=9\Rightarrow x+y+z\le3\)nên \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\le3\)
Theo BĐT Bunyakovsky dạng phân thức: \(\frac{1}{\sqrt{xy}-4}+\frac{1}{\sqrt{yz}-4}+\frac{1}{\sqrt{zx}-4}\)\(\ge\frac{9}{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}-12}\ge\frac{9}{3-12}=-1\)
Suy ra (*) đúng
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
Ine CTV
dễ thấy \(x,y,z< \sqrt{3}\)\(\Rightarrow\)\(\sqrt{xy}-4< 0\); ...
cauchy-schwarz chỉ dùng cho mẫu dương nha em, bài này lúc trước anh cũng lam sai, noi trước để đừng lục lại :D
Trước cũng giải bài này theo cách Kiệt nên sai. Đây là cách khác:
Trước hết chú ý: \(4-\sqrt{xy}\ge4-\frac{\left(x+y\right)}{2}\ge4-\frac{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{2}>4-\frac{\sqrt{6}}{2}>0\)
Do đó: \(4VT=\Sigma\frac{4}{4-\sqrt{xy}}=\Sigma\left(1+\frac{\sqrt{xy}}{4-\sqrt{xy}}\right)\le4\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\frac{\sqrt{xy}}{4-\sqrt{xy}}\le1\)
\(VT\le\Sigma\frac{\frac{\left(x+y\right)}{2}}{4-\frac{\left(x+y\right)}{2}}=\Sigma\frac{x+y}{8-x-y}\le1\)
Bất đẳng thức cuối rất đơn giản bởi phương pháp pqr và chú ý điều kiện \(p^2-2q=3\Rightarrow q=\frac{\left(p^2-3\right)}{2}\)
PS: Cố lắm mới giải bài này không dùng SOS đấy:v
Cho \(x,y,z\ge0\)thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=2\)
Chứng minh \(\frac{x^2}{x^2+yz+1}+\frac{y^2}{y^2+zx+1}+\frac{z^2}{z^2+xy+1}\le1\)
Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh :
\(\frac{xy}{x^5+xy+y^5}+\frac{yz}{y^5+yz+z^5}+\frac{zx}{z^5+zx+x^5}\le1\)
ủa đây là toám lớp 1 hả anh
Forever_Alone tên là Anh nhưng ko bt họ
Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz=1. Chứng minh:
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{x+1}>=\frac{3}{2}\)
Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xy+yz+zx=3. Tìm GTNN của:
A= \(\frac{yz}{x^3+2}+\frac{xz}{y^3+2}+\frac{xy}{z^3+2}\)
Mình là thành viên mới, rất mong được học hỏi. Xin hãy giúp đỡ mình ạ!!!
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge x;\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\ge z\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.2=\frac{3}{2}\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn x+y+z=1 .Chứng minh
\(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{zx}{z^2+x^2}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{15}{4}\)
Cho a, b, c mà bắt chứng minh x, y, z nên ko chứng minh đc là đúng òi:)
\(VT-VP=\Sigma_{cyc}\frac{\left(x-y\right)^4}{4xy\left(x^2+y^2\right)}\ge0\)
a,b,c??? chỗ nào vậy bé ?? :)))
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn x+y+z=1 .Chứng minh
Chỗ e in đậm.
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+zx=1
Chứng minh rằng
\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)^3\)
Ta có \(1+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+z\right)\left(x+y\right)\)
Khi đó BĐT <=>
\(\frac{1}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}+...\right)\)
<=> \(\frac{x+y+z}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{x\sqrt{y+z}+y\sqrt{x+z}+z\sqrt{x+y}}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}\right)^3\)
<=>\(\left(x+y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(x\sqrt{y+z}+y\sqrt{x+z}+z\sqrt{x+y}\right)^3\)
<=> \(\left(x+y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\right)^3\)(1)
Xét \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\)
<=> \(9\left[xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)+2xyz\right]\ge8\left(xy\left(x+y\right)+xz\left(x+z\right)+yz\left(y+z\right)+3xyz\right)\)
<=> \(xy\left(y+x\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)\ge6xyz\)
<=> \(x\left(y-z\right)^2+z\left(x-y\right)^2+y\left(x-z\right)^2\ge0\)luôn đúng
Khi đó (1) <=>
\(\left(x+y+z\right).\frac{2\sqrt{2}}{3}.\sqrt{x+y+z}\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+....\right)^3\)
<=> \(\sqrt{2\left(x+y+z\right)}\ge\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\)
Áp dụng buniacopxki cho vế phải ta có
\(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\le\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(3-xy-yz-xz\right)}\)
\(=\sqrt{2\left(x+y+z\right)}\)
=> BĐT được CM
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
cho các số dương x;y;z thỏa mãn xy+yz+zx=670
CMR: \(\frac{x}{x^2-yz+2010}+\frac{y}{y^2-zx+2010}+\frac{z}{z^2-xy+2010}\ge\frac{1}{x+y+z}\)
Ta có : \(\frac{x}{x^2-yz+2010}+\frac{y}{y^2-xz+2010}+\frac{z}{z^2-xy+2010}\)
\(=\frac{x^2}{x^3-xyz+2010x}+\frac{y^2}{y^3-xyz+2010y}+\frac{z^2}{z^3-xyz+2010z}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2010\left(x+y+z\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+3\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3+3xy^2+3x^2y+3x^2z+3xz^2+3y^2z+3yz^2}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^3}=\frac{1}{x+y+z}\)
Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn: xy+yz+zx=1. Chứng minh rằng:
\(x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}+y\sqrt{\frac{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}{1+y^2}}+z\sqrt{\frac{\left(1+z^2\right)\left(1+y^2\right)}{1+z^2}}=2\)
Ta có:
\(1+x^2=xy+yz+zx+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
\(1+y^2=xy+yz+xz+y^2=\left(y+z\right)\left(x+y\right)\)
\(1+z^2=xy+yz+xz+z^2=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
Thay vào A được:
\(P=x\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+y\sqrt{\frac{\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}}\)\(+z\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\)
\(=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)
\(=x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\)
\(=xy+xz+xy+yz+xz+zy\)
\(=2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(=2\)(do xy+yz+xz=1)
=>Đpcm
Dạng toán này rất nhiều bạn hỏi rồi: thay \(xy+yz+zx=1\) vào các căn thức rồi phân tích đa thức thành nhân tử.