Cho tam giác ABC và tia phân giác AD của góc A(D thuộc BC).Gọi M,N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B,C tới AD.
CMR:a/\(\frac{BM}{AB}\)=\(\frac{CN}{AN}\)
b/BM+CN≤BC
c/Sin\(\frac{A}{2}\)≤ \(\frac{BC}{AB+AC}\) ≤\(\frac{BC}{2\sqrt{AB+AC}}\)
Cho tam giác ABC và tia phân giác AD của góc A Gọi M và N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B và C đến AD
a)CM : \(\frac{BM}{AB}=\frac{CN}{AC}\)
b)\(BM+CN\le BC\)
c)\(\sin\left(\frac{A}{2}\right)\le\frac{BC}{AB+AC}\le\frac{BC}{2\sqrt{AB.AC}}\)
a) Xét 2 tam giác vuông AMB và ANC có: \(\widehat{MAB}=\widehat{NAC}\) ( do AD là tia phân giác ^A )
\(\Rightarrow\)\(\Delta AMB~\Delta ANC\) ( g-g ) \(\Rightarrow\)\(\frac{BM}{AB}=\frac{CN}{AC}\)
b) Theo bđt 3 điểm ta có: \(\hept{\begin{cases}BM+DM\le BD\\CN+DN\le CD\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(BM+CN+DM+DN\le BC\)
\(\Rightarrow\)\(BM+CN\le BC\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}M\in BD,AD\\N\in CD,AD\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(M\equiv N\equiv D\)\(\Rightarrow\)\(BD\perp AD;CD\perp AD\) hay tam giác ABC có AD vừa là đường phân giác vừa là đường cao => tam giác ABC cân tại A
c) Có: \(\sin\left(\frac{A}{2}\right)=\frac{BM}{AB}=\frac{CN}{AC}=\frac{BM+CN}{AB+AC}\le\frac{BC}{AB+AC}\le\frac{BC}{2\sqrt{AB.AC}}\)
Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC cân tại A
Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC . Gọi I là giao điểm tia phân giác của góc B và góc C . Từ I lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC , AB , AC tại M , N , P . Chứng minh :
a, BM = BP
b, IM = IN
c, BP + CN = BC
d, AI là tia phân giác của góc BAC
Sửa đề: Vuông góc với AC,AP tại N,P
a: Xét ΔBPI vuông tại P và ΔBMI vuông tại M có
BI chung
\(\widehat{PBI}=\widehat{MBI}\)
Do đó: ΔBPI=ΔBMI
=>BP=BM
b: Xét ΔIMC vuông tại M và ΔINC vuông tại N có
CI chung
\(\widehat{MCI}=\widehat{NCI}\)
Do đó: ΔIMC=ΔINC
=>IM=IN
c: ΔMCI=ΔNCI
=>MC=CN
BP+CN
=BM+MC
=BC
d: ΔBPI=ΔBMI
=>IP=IM
mà IM=IN
nên IP=IN
Xét ΔAPI vuông tại P và ΔANI vuông tại N có
AI chung
IP=IN
Do đó: ΔAPI=ΔANI
=>\(\widehat{PAI}=\widehat{NAI}\)
=>AI là phân giác của \(\widehat{BAC}\)
Cho tam giác vuông tại A, đường phân giác AD. Gọi M,N theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ B,C đến AD
CMR: \(AD\le\frac{BM+CN}{2}\)
Cho tam giác ABC (AB<AC). Từ trung điểm D của cạnh BC kẻ một đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc BAC, đường thẳng đó cắt các tia AB và AC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng:
a)Tam giác AMN là tam giác cân
b)BM=CN
c)AD<\(\frac{AB+AC}{2}\)
Hình bn tự vẽ nha!!^^
a, Xét \(\Delta ADM\)VÀ \(\Delta ADN\)có:'
\(\widehat{MAD}=\widehat{DAN}\)(tia p/g \(\widehat{BAN}\))
\(AD\)chung
\(\widehat{ADN}=\widehat{ADM}\)(Đg thg \(\perp\))(=90 độ)
\(\Rightarrow\Delta'ADM=\Delta ADN\left(g.c.g\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{M}=\widehat{N}\)(2 góc t/ứ)
Xét tam giác AMN có: \(\widehat{M}=\widehat{N}\Rightarrow\Delta AMN\)là tam giác cân tại A
Giúp mình !!!!!!!!
1. Tam giác ABC với D,E,F lần lượt thuộc cạnh BC,CA,AB sao cho AD,BE,CF đồng quy tại M. chứng minh \(\frac{DM}{AD}+\frac{FM}{CF}+\frac{EM}{BE}=1\)
2. Tam giác ABC với M tùy ý nằm trong tam giác. Đường thẳng đi qua M và trọng tâm G của tam giác cắt BC,CA,AB lần lượt tại A',B',C'. chứng minh: \(\frac{MA'}{GA'}+\frac{MB'}{GB'}+\frac{MC'}{GC'}=3\)
3. Tam giác nhọn ABC, phân giác AD. M,N lần lượt là hình chiếu của D trên AC,AB, P là giao điểm BM, CN. chứng minh AP vuông góc BC
cho tam giác abc vuông cân tại a. hai tia phân giác bm và cn cắt nhau tại i ( m thuộc ac, n thuộc ab ) . chứng minh :
a, im=in và mn song song bc
b, qua a và n kẻ đường vuông góc với bm cắt bc lần lượt tại d và e . chứng minh am=de=cd
c, tam giác mcd là tam giác gì ?
d, h là trung điểm của bc. chứng minh ah, bm, cn ddoongwf quy
e, chứng minh bm+am>bc
các bạn giúp mình với
mai tớ kiểm tra rồi
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Các đường cao AD, BM, CN của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi O là trung điểm của BC, E là điểm đối xứng của H qua O. Kẻ CF vuông góc với BE tại F. Gọi K,L, R lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ N đến AC, AD, BC. Gọi giao điểm của DM và CN là S. CMR:
1. Ba điểm K, L, R thẳng hàng
2. HN.CS = NC.SH
3. Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, kẻ đường thẳng đi qua C và vuông góc với đường thẳng AI tại P, đường thẳng CP cắt đường thẳng AO tại Q. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng IQ. CMR: đường thẳng PG đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Kẻ BH vuông góc với AD (H thuộc AD), kẻ CK vuông góc với AE ( K thuộc AE ). Kẻ BM vuông góc với AE (M thuộc AE), kẻ CN vuông góc với AD. Chứng minh rằng:
a) tam giác ADE là tam giác gì?;
b) BH = CK, BM = CN;
c) tam giác AHB = tam giác AKC;
d) BC song song với HK.
a: Xét ΔABD và ΔACE có
AB=AC
góc ABD=góc ACE
BD=CE
=>ΔADB=ΔAEC
=>AD=AE
=>ΔADE cân tại A
b,c: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAKC vuông tại K có
AB=AC
góc HAB=góc KAC
=>ΔAHB=ΔAKC
=>BH=CK
Xét ΔAMB vuông tại M và ΔANC vuông tại N có
AB=AC
góc MAB=góc NAC(góc MAB=góc MAC+góc BAC;góc NAC=góc NAB+góc BAC;gócMAC=góc NAB)
=>ΔAMB=ΔANC
=>BM=CN
d: Xét ΔADE có AH/AD=AK/AE
nên HK//DE
=>HK//BC
cho tam giác ABC vuông tại A và M,N lần lượt là trung điiểm của AC,AB. Gọi E,F thứ tự là chân đường vuông góc hạ từ C tới BM và từ B tới tới CN. Gọi G là giao điểm BM và CN. CMR: CE+BF<2AG