\(P-4=x-3y\Rightarrow\left(P-4\right)^2=\left(5.\frac{x}{5}+\left(-12\right).\frac{y}{4}\right)^2\le\left(5^2+12^2\right)\left(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}\right)=13^2\)

\(\Rightarrow-13\le P-4\le13\)

\(\Rightarrow-9\le P\le17\)

\(P_{max}=17\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{25}{13}\\y=-\frac{48}{13}\end{matrix}\right.\)

\(P_{min}=-9\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=-\frac{25}{13}\\y=\frac{48}{13}\end{matrix}\right.\)

Từ giả thiết ta có :

\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)

ta có : \(Q=\frac{y+2}{x^2}+\frac{z+2}{y^2}+\frac{x+2}{z^2}\)

\(=\frac{\left(x+1\right)+\left(y+1\right)}{x^2}+\frac{\left(y+1\right)+\left(z+1\right)}{y^2}+\frac{\left(z+1\right)+\left(x+1\right)}{z^2}-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(=\left(x+1\right)\left(\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}\right)+\left(y+1\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\left(z+1\right)\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(\ge\frac{2\left(x+1\right)}{zx}+\frac{2\left(y+1\right)}{xy}+\frac{2\left(z+1\right)}{yz}-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+2\)

Áp dụng bđt \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Ta có \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\ge3\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=3\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\sqrt{3}\)

Do đó : \(Q\ge\sqrt{3}+2\). Dấu " = " xảy ra 

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\\z+y+z=xyz\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{3}}\)

Vậy Min \(Q=\sqrt{3}+2\)khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)

Mình gợi ý để bạn được người khác giúp nhé. Khi đăng bài bạn nên đăng từng câu. Đừng đăng nhiều câu cùng lúc vì nhìn vô không ai muốn giải hết. Giờ bạn tách ra từng câu đăng lại đi. Sẽ có người giúp đấy

Các bạn ơi giúp mình với ạ, cảm ơn nhiều!

dong y quan diem @aliba

bo xung them. nhieu qua khi tra loi phan cau hoi troi len khoi man hinh =>" ko nhin duoc de bai"

(da khong biet lai con luoi dang cau hoi nua)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(A=\frac{x^2}{x\left(y+1\right)}+\frac{y^2}{y\left(x+1\right)}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y+2xy}=\frac{1}{1+2xy}\)

Lại theo BĐT Cô-si thì : \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)

Do đó \(A\ge\frac{1}{1+2\cdot\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

tích mình với

ai tích mình

mình tích lại

thanks

Tích mình đi mình tích lại

\(1,A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)

                                             \(\ge\frac{4}{\left(x+y^2\right)}+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}\ge\frac{4}{1}+\frac{2}{1}=6\)

Dấu "=" <=> x= y = 1/2

\(2,A=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left(\frac{x}{9y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{8x}{9y}\ge2\sqrt{\frac{x}{9y}.\frac{y}{x}}+\frac{8.3y}{9y}\)

                                                                                                  \(=2\sqrt{\frac{1}{9}}+\frac{8.3}{9}=\frac{10}{3}\)

Dấu "=" <=> x = 3y

bài 3 min hay max ?

Đề bài có vấn đề nho nhỏ, thay điểm rơi vào thì vế phải thừa bình phương trong ngoặc

Áp dụng Holder:

\(\left(a^2+\frac{1}{b^2}\right)\left(4+\frac{1}{4}\right)\left(4+\frac{1}{4}\right)\ge\left(\sqrt[3]{16a^2}+\sqrt[3]{\frac{1}{16b^2}}\right)^3\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{17^2\left(a^2+\frac{1}{b^2}\right)}\ge4\sqrt[3]{4a^2}+\frac{1}{\sqrt[3]{b^2}}\)

\(\Rightarrow P=\sqrt[3]{17^2}.S\ge4\sqrt[3]{4}\left(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{c^2}\right)+\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c^2}}\)

\(P=\frac{15}{\sqrt[3]{16}}\sum\sqrt[3]{a^2}+\sum\left(\sqrt[3]{\frac{a^2}{16}}+\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}\right)\)

Ta có: \(3\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{4}\ge4\sqrt[12]{4a^6}=4\sqrt[6]{2}.\sqrt{a}\)

Tương tự và cộng lại:

\(\Rightarrow\sum\sqrt[3]{a^2}\ge\frac{4\sqrt[6]{2}\sum\sqrt{a}-3\sqrt[3]{4}}{3}\ge3\sqrt[3]{4}\)

\(\sum\left(\sqrt[3]{\frac{a^2}{16}}+\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}\right)\ge6\sqrt[6]{\frac{1}{16}}=\frac{6}{\sqrt[3]{4}}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{15}{\sqrt[3]{16}}.3\sqrt[3]{4}+\frac{6}{\sqrt[3]{4}}=\frac{51}{\sqrt[3]{4}}=3.\sqrt[3]{\frac{17^3}{4}}\)

\(\Rightarrow S\ge3\sqrt[3]{\frac{17^3}{4}}:\sqrt[3]{17^2}=3\sqrt[3]{\frac{17}{4}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)

Bài toán nhạt nhẽo, chẳng có gì ngoài tính trâu, lần sau xin né :(