Từ H, kẻ đường thẳng song song với DC cắt AB tại I

Xét ΔBDC có 

H là trung điểm của BC(gt)

HI//CD(gt)

Do đó: I là trung điểm của BD(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)

Xét ΔAHI có 

M là trung điểm của AH(gt)

MD//IH(gt)

Do đó: D là trung điểm của AI(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)

Ta có: D là trung điểm của AI(cmt)

nên AD=DI

Ta có: I là trung điểm của BD(cmt)

nên ID=BI

Ta có: AD+DI+BI=AB

nên 3AD=AB

hay \(AD=\dfrac{1}{3}AB\)

Ta có: AD+BD=AB(D nằm giữa A và B)

nên \(BD=AB-AD=AB-\dfrac{1}{3}AB=\dfrac{2}{3}AB\)

Ta có: \(\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{2\cdot AB}{3}:\dfrac{1\cdot AB}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{2\cdot AB}{AB}=2\)

nên BD=2AD

Gọi K là trung điểm của BD

Xét ΔBDC có 

K là trung điểm của BD

H là trung điểm của BC

Do đó: KH là đường trung bình của ΔBDC

Suy ra: KH//DC 

hay KH//DM

Xét ΔAKH có 

M là trung điểm của AH

MD//KH

Do đó: D là trung điểm của AK

Suy ra: AD=DK

mà DK=KB

nên AD=DK=KB

\(\Leftrightarrow AD=\dfrac{DK+KB}{2}=\dfrac{BD}{2}\)

hay BD=2AD

a) Xét ΔABN và ΔACM có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAN}\) chung

AN=AM(gt)

Do đó: ΔABN=ΔACM(c-g-c)

Suy ra: BN=CM(hai cạnh tương ứng)

b) Xét ΔAHB và ΔAHC có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

AH chung

HB=HC(H là trung điểm của BC)

Do đó: ΔAHB=ΔAHC(c-c-c)

Suy ra: \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

hay AH⊥BC(đpcm)

c) Ta có: AH⊥BC(cmt)

mà H là trung điểm của BC(gt)

nên AH là đường trung trực của BC

⇔EH là đường trung trực của BC

⇔EB=EC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)

Xét ΔEBC có EB=EC(cmt)

nên ΔEBC cân tại E(Định nghĩa tam giác cân)

a) Xét ΔAND và ΔCNB có 

NA=NC(N là trung điểm của AC)

\(\widehat{AND}=\widehat{CNB}\)(hai góc đối đỉnh)

ND=NB(N là trung điểm của BD)

Do đó: ΔAND=ΔCNB(c-g-c)

b) Ta có: ΔAND=ΔCNB(cmt)

nên AD=BC(hai cạnh tương ứng)

Ta có: ΔAND=ΔCNB(cmt)

nên \(\widehat{ADN}=\widehat{CBN}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{ADN}\) và \(\widehat{CBN}\) là hai góc ở vị trí so le trong

nên AD//BC(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

khó vãi

a) Xét \(\Delta HAB\)và \(\Delta DAH\)có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{ADH}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{BAH}\)chung

\(\Rightarrow\Delta HAB\approx\Delta DAH\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AH}{AD}=\frac{AB}{AH}\)(2 cặp cạnh tỉ lệ tương ứng)

\(\Rightarrow AH^2=AB.AD\left(1\right)\)

Xét \(\Delta HAC\)và \(\Delta EAH\)có:

\(\widehat{AHC}=\widehat{AEH}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{CAH}\)chung

\(\Rightarrow\Delta HAC\approx\Delta EAH\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AH}{AE}=\frac{AC}{AH}\)(2 cặp cạnh tỉ lệ tương ứng) 

\(\Rightarrow AH^2=AE.AC\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)
\(\Rightarrow AH^2=AB.AD=AE.AC\)(điều phải chứng minh)