1.

$x(x+2)(x+4)(x+6)+8$

$=x(x+6)(x+2)(x+4)+8=(x^2+6x)(x^2+6x+8)+8$

$=a(a+8)+8$ (đặt $x^2+6x=a$)

$=a^2+8a+8=(a+4)^2-8=(x^2+6x+4)^2-8\geq -8$

Vậy $A_{\min}=-8$ khi $x^2+6x+4=0\Leftrightarrow x=-3\pm \sqrt{5}$

2.

$B=5+(1-x)(x+2)(x+3)(x+6)=5-(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)$

$=5-(x^2+5x-6)(x^2+5x+6)$

$=5-[(x^2+5x)^2-6^2]$

$=41-(x^2+5x)^2\leq 41$

Vậy $B_{\max}=41$. Giá trị này đạt tại $x^2+5x=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-5$

3.

Đặt $x+3=a; 7-x=b$ thì $a+b=10$ 

$C=a^4+b^4$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^4+b^4)(1+1)\geq (a^2+b^2)^2$

$\Rightarrow C\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}$
$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2=100$

$\Rightarrow a^2+b^2\geq 50$

$\Rightarrow C\geq \frac{50^2}{2}=1250$

Vậy $C_{\min}=1250$

Giá trị này đạt tại $a=b=5\Leftrightarrow x=2$

\(y=x+\dfrac{1}{x}-5\ge2\sqrt{\dfrac{x}{x}}-5=-3\)

\(y_{min}=-3\) khi \(x=1\)

\(y=4x^2+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2x}-4\ge3\sqrt[3]{\dfrac{4x^2}{2x.2x}}-4=-1\)

\(y_{min}=-1\) khi \(x=\dfrac{1}{2}\)

\(y=x+\dfrac{4}{x}\Rightarrow y'=1-\dfrac{4}{x^2}=0\Rightarrow x=-2\)

\(y\left(-2\right)=-4\Rightarrow\max\limits_{x>0}y=-4\) khi \(x=-2\)

Ta có : \(\left|x-\frac{2}{5}\right|\ge0;\left|x-\frac{3}{5}\right|\ge0\forall x\in R\)

=> \(\left|x-\frac{2}{5}\right|+\left|x-\frac{3}{5}\right|\ge0\)

Vì x ko thể đồng thời nhận hai giá trị 

Nên GTNN của biểu thức là : \(\frac{1}{5}\) khi x = \(\frac{2}{5},\frac{3}{5}\)

\(P=\dfrac{x-4+9}{\sqrt{x}+2}=\sqrt{x}-2+\dfrac{9}{\sqrt{x}+2}\)

\(\Leftrightarrow P=\sqrt{x}+2+\dfrac{9}{\sqrt{x}+2}-4>=2\cdot3-4=2\)

Dấu = xảy ra khi (căn x+2)^2=9

=>căn x+2=3

=>x=1

a) x² - 2x + 5 = (x - 1)² + 4 >= 4

Min là 4 khi x = 1

a, A=|x+2|+5

Vì |x+2| \(\ge\) 0 \(\forall\) x

=> |x+2|+5\(\ge5\forall x\)

Dấu = xảy ra <=> x+2=0

<=> x=-2

Vậy.....

b, B=|x-100|+|y+200|-7

Vì |x-100| \(\ge0\forall x\)

    |y+200| \(\ge0\forall y\)

=> \(\left|x-100\right|+\left|y+200\right|-7\ge-7\forall x,y\)

Dấu = xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x-100=0\\y+200=0\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x=100\\y=-200\end{cases}}\)

vậy.........

\(A=\dfrac{x^2+2x+1}{x^2-4x+5}=\dfrac{\left(x+1\right)^2}{\left(x-2\right)^2+1}\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)^2\ge0\\\left(x-2\right)^2+1>0\end{matrix}\right.\) ;\(\forall x\)

\(\Rightarrow A\ge0\) ;\(\forall x\)

\(A_{min}=0\) khi \(x=-1\)