Do \(2n+1\) và \(3n+1\) là các số chính phương dương nên tồn tại các số nguyên dương a,b sao cho \(2n+1\)\(=a^2\) và \(3n+1=b^2\). Khi đó ta có:

\(2n+9=25.\left(2n+1\right)-16.\left(3n+1\right)=25a^2-16b^2=\left(5a-4b\right).\left(5a+4b\right)\)

Do \(2n+9\) là nguyên tố,\(5a+4b>1\) và \(5a+4b>5a-4b\) nên ta phải có \(5a-4b=1\), tức là: \(b=\dfrac{5a-1}{4}\)

\(\Rightarrow\) ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2n+1=a^2\left(1\right)\\3n+1=\dfrac{\left(5a-1\right)^2}{16}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1) : \(2n+1=a^2\Rightarrow n=\dfrac{a^2-1}{2}\) và a > 1 ( do n>0)

Thay vào (2): \(\dfrac{3.\left(a^2-1\right)}{2}+1=\dfrac{\left(5a-1\right)^2}{16}\)  => (a - 1).(a - 9) = 0

=> a = 9. Từ đó ta có n = 40

Vậy duy nhất một giá trị n thỏa mãn yêu cầu đề bài là : n = 40

Đặt  2n +1 =a²

    3n +4 =b²

2b² -3a² =6n +8 -6n -3 =5

2(b² -a²) = a² +5  => a² là số chính phưng lẻ  < 200  ( 2n +1 < 200)

+a² =25 => a =5 => n =12  khi đó  3.12 +4 =40  =b² loại

+a² = 49 => n =24 => 24.3 +4 =76 =b² loại

+a² =81 => n =40 => 40.3 +4 =124 =b² loại

+a² =121 => n =60 => 60.3 +4 =184 = b² loại

+a² =169 => n =84 => 84.3 +4 =256 =16² =b² => b =16 (TM)

Vậy  n =84

ko có bạn nhé
chỉ có 2n + 1 và 3n + 1 thôi

bạn chú ý cái này nhé <= nghĩa là nhỏ hơn hoặc bằngvà => là dấu suy ra

Vì n có 2 chữ số =>10 <= n và n <= 99 =>21 <= 2n+1<= 199

vì 2n chẵn nên 2n+1 lẻ và 2n+1 là số chính phương

=>2n+1 là số chính phương lẻ 

=> 2n+1 thuộc { 25;49;81;121;169}

giờ bạn thử là xong

so 2 phai ko

hỏi cô mày ra đáp án liền tao thề:o

đề bài là -2n+9 là số nguyên tố chứ

Nếu vậy thì giải dùm tớ

-2n+9 là số nguyên tố => -2n+9>0=>n<5

mà n tự nhiên =>n\(\in\){1,2,3,4}

Xét n=1=>2n+1=3 không phải scp (loại)

Xét n=2=> 2n+1=5 không phải scp (loại)

Xét n=3=> 2n+1=7 không phải scp (loại)

Xét n=4=> 3n+1=13 không phải scp (loại)

Vậy không có số tự nhiên n t/m đề bài