\(\frac{a^2}{b+3c}+\frac{b^2}{c+3a}+\frac{c^2}{a+3b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4a+4b+4c}=\frac{a+b+c}{4}\)

Theo BĐT Bunhicopxki:

\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}=VP^{\left(Đpcm\right)}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :

\(VT=\frac{\left(\sqrt{6}\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{a^2+b^2+c^2}\)

\(VT\ge\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\frac{8+4\sqrt{3}}{\left(a+b+c\right)^2}\)

\(=8+4\sqrt{3}=8+\sqrt{48}>8+\sqrt{36}=8+6=14\)

Ta có đpcm

Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz, ta được:

\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{b+c+a+c+a+b}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^3}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{1}{2}\)

ミ★长 - ƔξŦ★彡vãi cả cauchy-schwarz cho bậc 3: \("\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{b+c+c+a+a+b}\)

Thiết nghĩ nên sửa đề \(a,b,c>0\) thôi chứ là gì có d? Mà nếu a >b >c > d > 0 thì liệu dấu = có xảy ra?

Áp dụng BĐT Cauchy-Scwarz ta có: \(LHS\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{1}{2}\)

ミ★长 - ƔξŦ★彡 Cauchy schwarz ko có bậc 3 nhé !Thích Cauchy-schwarz thì ta làm Cauchy-schwarz!

\(A=\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}=\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{ab+bc}+\frac{c^4}{ac+bc}\)

\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

Có BĐT phụ \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\left(true\right)\)

Khi đó \(A\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{2}\)

Theo giả thiết, ta có:

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow\)  \(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow\)  \(2\left(ab+bc+ac\right)=0\)

\(\Rightarrow\)  \(ab+bc+ac=0\)

Vì   \(a,b,c\ne0\)  nên  \(\frac{ab+bc+ac}{abc}=0\), tức là  \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)  \(\left(1\right)\)

Từ  \(\left(1\right)\)  \(\Rightarrow\)  \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{1}{c}\)  \(\left(2\right)\)

               \(\Leftrightarrow\)   \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^3=\left(-\frac{1}{c}\right)^3\)

               \(\Leftrightarrow\)  \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+3.\frac{1}{a}.\frac{1}{b}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=-\frac{1}{c^3}\)

               \(\Leftrightarrow\)  \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=-\frac{3}{ab}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

               \(\Leftrightarrow\)   \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)  (do  \(\left(2\right)\) )

Tự nhiên lục được cái này :'( 

3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)

\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)

Cộng theo vế ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c 

tính tổng độ dài ab và ac sau đó tính độ dài ab rồi tính độ dài ac rồi tính diện tích cái bài đó dễ mà đâu khó đâu 

tổng độ dài ab và ac là 

120 - 30 = ?

độ dài ab là cái đó tự biết

độ dài ac là cái đó thì cũng tự biết

tính được hai cái đó rồi thì tính diện tích lấy hai kết quả vừa tính nhân cho nhau rồi chia cho 2 vậy là ra rồi

Chúc bạn làm bài tốt