\(M=\sqrt{x^2+6x+9}+\sqrt{x^2-4x+4}\)

\(=\sqrt{x^2+2.x.3+3^2}+\sqrt{x^2-2.2x+2^2}\)

\(=\sqrt{\left(x+3\right)^2}+\sqrt{\left(x-2\right)^2}\)

TH1 : \(x< -3;\)có :

\(M=-\left(x+3\right)+\left[-\left(x-2\right)\right]\)

\(=-3-x+2-x\)

\(=-1-2x>-1-2.\left(-3\right)=-1+6=5\)

TH2 : \(-3\le x\le2;\)có :

\(M=\left(x+3\right)+\left[-\left(x-2\right)\right]\)

\(=x+2+2-x=4\)

TH3: \(x>2\)

\(\Rightarrow M=\left(x+3\right)+\left(x-2\right)=2x+1\ge2.2+1=5\)

\(\Rightarrow Min_M=4\)

\(\Leftrightarrow-3\le x\le2\)

Vậy ...

Tại hạ chưa học lớp 9 nên làm cách quèn :)

\(\sqrt{x^2+4x+4}+\sqrt{x^2-6x+9}\)

\(=\sqrt{\left(x+2\right)^2}+\sqrt{\left(x-3\right)^2}\)

\(=\left|x+2\right|+\left|x-3\right|\)

\(=\left|x+2\right|+\left|3-x\right|\ge\left|x+2+3-x\right|=5\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(\left(x+2\right)\left(3-x\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow x+2\ge0\text{ và }3-x\ge0\text{ hoặc }x+2\le0\text{ và }3-x\le0\)

\(\Leftrightarrow x\ge-2\text{ và }x\le3\text{ hoặc }x\le-2\text{ và }x\ge3\left(loại\right)\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 5 tại \(-2\le x\le3\)

\(A=\sqrt{\left(x+2\right)^2}+\sqrt{\left(x-3\right)^2}\)

    =  / x+2/  +  /  x -3/     = /x+2/ +  / 3-x /    >/   /x+2+3-x/  =5

A min = 5  khi   -2 </ x </ 3

P=/ x+3/+/3-x/ >_ /x+3+3-x/

P >_6

min P là 6

dấu bằng xảy ra

( X+3)(3-X)>_ 0

-3_<X_<3

\(\frac{4x^2+9x+18\sqrt{x}+9}{4x\sqrt{x}+4\sqrt{x}}+\frac{4x\sqrt{x}+4\sqrt{x}}{4x^2+9x+18\sqrt{x}+9}-2=\frac{\left(-4x\sqrt{x}+4x^2+9x+22\sqrt{x}+9\right)^2}{\left(4x^2+9x+18\sqrt{x}+9\right)\left(4x\sqrt{x}+4\sqrt{x}\right)}\ge0\)

Đặt \(M=\frac{4x^2+9x+18\sqrt{x}+9}{4x\sqrt{x}+4x}\left(x>0\right)\Rightarrow M>0\)

Đặt \(y=\sqrt{x}>0\)ta có \(M=\frac{4x^2+9x+18\sqrt{x}+9}{4x\sqrt{x}+4x}=\frac{4y^4+9y^2+18y+9}{4y^3+4y^2}\)\(=\frac{3\left(4y^3+4y^2\right)+\left(4y^2-12y^3-3y^2+18y+9\right)}{4y^3+4y^2}=3+\frac{\left(2y^2-3y-3\right)^2}{4y^3+4y^2}\ge3\)

\(y>0\Rightarrow\hept{\begin{cases}4y^3+4y^2>0\\\left(2y^2-3y-3\right)^2\ge0\end{cases}\Rightarrow\frac{\left(2y-3y-3\right)^2}{4y^3+4y^2}\ge0}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow2y^2-3y-3=0\Leftrightarrow y=\frac{3+\sqrt{33}}{4}\left(y>0\right)\)

\(\Rightarrow x=\left(\frac{3+\sqrt{33}}{4}\right)^2=\frac{21+3\sqrt{33}}{8}\)

Khi đó \(A=M+\frac{1}{M}=\frac{8M}{9}+\left(\frac{M}{9}+\frac{1}{M}\right)\ge\frac{8\cdot3}{9}+2\sqrt{\frac{M}{9}\cdot\frac{1}{M}}=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}M=3\\\frac{M}{9}=\frac{1}{M}\end{cases}\Leftrightarrow M=3\Leftrightarrow x=\frac{21+3\sqrt{33}}{8}}\)

Vậy \(A_{min}=\frac{10}{3}\Leftrightarrow x=\frac{21+3\sqrt{33}}{8}\)

\(C=\sqrt{x^2+4x+4}+\sqrt{x^2+6x+9}\)

\(C=\sqrt{\left(x+2\right)^2}+\sqrt{\left(x+3\right)^2}\)

\(C=\left|x+2\right|+\left|x+3\right|\)

\(C=\left|x+2\right|+\left|-x-3\right|\ge\left|x+2-x-3\right|=1\)

Vậy : \(Min_C=1\Leftrightarrow-2\ge x\ge-3\)

ta có: \(4x^2+9x+18\sqrt{x}+9=4x^2+9\left(\sqrt{x}+1\right)^2\),\(4x\sqrt{x}+4x=4x\left(\sqrt{x}+1\right)\)
Đặt \(a=x,b=\sqrt{x}+1\)ta có:
\(A=\frac{4a^2+9b^2}{4ab}+\frac{4ab}{4a^2+9b^2}=t+\frac{1}{t},t=\frac{4a^2+9b^2}{4ab}\)
có \(\frac{4a^2+9b^2}{4ab}=t\Rightarrow4a^2-t.4ab+9b^2=0\Leftrightarrow4.\left(\frac{a}{b}\right)^2-4t.\frac{a}{b}+9=0,\)do a khác 0.
Đặt \(\frac{a}{b}=y\Rightarrow4y^2-t.4y+9=0\), \(\Delta=16t^2-36\ge0\Leftrightarrow t\ge\frac{3}{2}\left(t>0\right)\)
xét \(f\left(t\right)=t+\frac{1}{t}\left(t\ge\frac{3}{2}\right)\)
lấy \(\frac{3}{2}< t_1< t_2\)
\(\Rightarrow f\left(t_1\right)-f\left(t_2\right)=\left(t_1-t_2\right)\left(\frac{t_1.t_2-1}{t_1.t_2}\right)< 0\)
suy ra với t càng tăng thì f(t) càng lớn vậy min \(f\left(t\right)=\frac{3}{2}+\frac{2}{3}=\frac{13}{6}\)
các em tự tìm x nhé.

bài này bạn áp dụng BĐT cô si cko 2 số dương là đc.

đáp án: Min A=  2

Phan Quỳnh Anh Cách của bạn không ổn đâu, với lại kết quả bạn chưa đúng ^^